Negli spazi misurabili, il prodotto distribuisce sulla somma?
Dati due spazi misurabili \((X,\Sigma_X), (Y,\Sigma_Y)\) il loro prodotto è lo spazio misurabile che ha per supporto il prodotto cartesiano \(X\times Y\) equipaggiato con la \(\sigma\)-algebra ottenuta così: il prodotto cartesiano delle \(\sigma\)-algebre di \(X,Y\) è un sottoinsieme \(\Sigma_X\times\Sigma_Y\) del prodotto cartesiano \(2^X\times 2^Y\) e si può considerare il pullback \[
\begin{CD} \Sigma_{X\times Y}^\text{box} @>>> \Sigma_X \times \Sigma_Y \\ @VVV @VVV \\ 2^{X\times Y} @>>\langle\pi^X_*,\pi^Y_*\rangle> 2^X\times 2^Y \end{CD}\] ora la freccia verticale destra è un monomorfismo, e il pullback di un monomorfismo resta un monomorfismo, quindi uno definisce la \(\sigma\)-algebra \(\Sigma_X\otimes \Sigma_Y\) come quella generata da \( \Sigma_{X\times Y}^\text{box} \).
Questa dovrebbe essere la minima \(\sigma\)-algebra che rende misurabili le funzioni di proiezione \(\pi_X, \pi_Y : X\times Y \to X,Y\), e data una coppia di funzioni misurabili \(u,v : T\to X,Y\) dovrebbe essere misurabile la funzione \(\langle u,v\rangle : T \to X\times Y\), quindi ho l'impressione che \((X\times Y, \Sigma_X\otimes \Sigma_Y)\), così definita, abbia la proprietà universale del prodotto.
Del resto sono sempre stato convinto che questo non fosse vero: risolvetemi il dubbio. (E' molto difficile trovare una dimostrazione o un controesempio in un libro di teoria della misura, perché sono solitamente scritti in un linguaggio [strike]sbagliato[/strike]diverso.)
A questo punto posso anche cercare di costruire il coprodotto di due spazi misurabili \((X,\Sigma_X), (Y,\Sigma_Y)\), considerando come supporto la loro unione disgiunta \(X\amalg Y\) e la \(\sigma\)-algebra così definita: le inclusioni \(\iota^X,\iota^Y : X,Y\to X\amalg Y\) inducono una funzione iniettiva \(2^X\amalg 2^Y\to 2^{X\amalg Y}\) definita da \(U\subseteq X\mapsto (X\amalg Y)\cap U\) e analogamente per un sottoinsieme di \(Y\). Ora, componendo i monomorfismi \[\begin{CD}\Sigma_X\amalg\Sigma_Y @>>> 2^X\amalg 2^Y @>>> 2^{X\amalg Y} \end{CD}\] si identifica \(\Sigma_X\amalg\Sigma_Y\) a un sottoinsieme di \(2^{X\amalg Y}\), e la \(\sigma\)-algebra generata da questo sottoinsieme dovrebbe essere quella che rende \(X\amalg Y\) il coprodotto \((X+Y,\Sigma_X\oplus\Sigma_Y)\) di \((X,\Sigma_X), (Y,\Sigma_Y)\). Anche di questo gradirei conferma (ma ho delle ragioni strutturali per dubitarne molto meno: la controimmagine di un misurabile $U$ di \(X+Y\) in \(X\) è semplicemente l'insieme stesso, se $U$ stava in $X$, e il vuoto altrimenti, e analogamente per $Y$, quindi le inclusioni sono misurabili; date \(u,v : X,Y\to T\) la controimmagine di un misurabile di $T$ mediante \(\left[\begin{smallmatrix}u\\v\end{smallmatrix}\right] : X+Y\to T\) è unione disgiunta di misurabili, quindi sta in \(\Sigma_X\oplus\Sigma_Y\)).
Date entrambe queste costruzioni, quello che succede è che esiste una biiezione naturale \[\left[\begin{smallmatrix}X\times \iota_Y\\ X \times \iota_Z\end{smallmatrix}\right] : X\times Y + X\times Z \xrightarrow{\kern3em}X\times(Y+Z)\] indotta dalle inclusioni \(\iota_Y,\iota_Z : Y,Z \to Y+Z\). Questa funzione è biiettiva, come è facile verificare.
Mi piacerebbe tantissimo che fosse misurabile, e che inducesse un isomorfismo tra le \(\sigma\)-algebre \(\Sigma_X\otimes(\Sigma_Y\oplus \Sigma_Z)\) e \((\Sigma_X\otimes \Sigma_Y)\oplus (\Sigma_X\otimes \Sigma_Z)\). E' vero?
\begin{CD} \Sigma_{X\times Y}^\text{box} @>>> \Sigma_X \times \Sigma_Y \\ @VVV @VVV \\ 2^{X\times Y} @>>\langle\pi^X_*,\pi^Y_*\rangle> 2^X\times 2^Y \end{CD}\] ora la freccia verticale destra è un monomorfismo, e il pullback di un monomorfismo resta un monomorfismo, quindi uno definisce la \(\sigma\)-algebra \(\Sigma_X\otimes \Sigma_Y\) come quella generata da \( \Sigma_{X\times Y}^\text{box} \).
Questa dovrebbe essere la minima \(\sigma\)-algebra che rende misurabili le funzioni di proiezione \(\pi_X, \pi_Y : X\times Y \to X,Y\), e data una coppia di funzioni misurabili \(u,v : T\to X,Y\) dovrebbe essere misurabile la funzione \(\langle u,v\rangle : T \to X\times Y\), quindi ho l'impressione che \((X\times Y, \Sigma_X\otimes \Sigma_Y)\), così definita, abbia la proprietà universale del prodotto.
Del resto sono sempre stato convinto che questo non fosse vero: risolvetemi il dubbio. (E' molto difficile trovare una dimostrazione o un controesempio in un libro di teoria della misura, perché sono solitamente scritti in un linguaggio [strike]sbagliato[/strike]diverso.)
A questo punto posso anche cercare di costruire il coprodotto di due spazi misurabili \((X,\Sigma_X), (Y,\Sigma_Y)\), considerando come supporto la loro unione disgiunta \(X\amalg Y\) e la \(\sigma\)-algebra così definita: le inclusioni \(\iota^X,\iota^Y : X,Y\to X\amalg Y\) inducono una funzione iniettiva \(2^X\amalg 2^Y\to 2^{X\amalg Y}\) definita da \(U\subseteq X\mapsto (X\amalg Y)\cap U\) e analogamente per un sottoinsieme di \(Y\). Ora, componendo i monomorfismi \[\begin{CD}\Sigma_X\amalg\Sigma_Y @>>> 2^X\amalg 2^Y @>>> 2^{X\amalg Y} \end{CD}\] si identifica \(\Sigma_X\amalg\Sigma_Y\) a un sottoinsieme di \(2^{X\amalg Y}\), e la \(\sigma\)-algebra generata da questo sottoinsieme dovrebbe essere quella che rende \(X\amalg Y\) il coprodotto \((X+Y,\Sigma_X\oplus\Sigma_Y)\) di \((X,\Sigma_X), (Y,\Sigma_Y)\). Anche di questo gradirei conferma (ma ho delle ragioni strutturali per dubitarne molto meno: la controimmagine di un misurabile $U$ di \(X+Y\) in \(X\) è semplicemente l'insieme stesso, se $U$ stava in $X$, e il vuoto altrimenti, e analogamente per $Y$, quindi le inclusioni sono misurabili; date \(u,v : X,Y\to T\) la controimmagine di un misurabile di $T$ mediante \(\left[\begin{smallmatrix}u\\v\end{smallmatrix}\right] : X+Y\to T\) è unione disgiunta di misurabili, quindi sta in \(\Sigma_X\oplus\Sigma_Y\)).
Date entrambe queste costruzioni, quello che succede è che esiste una biiezione naturale \[\left[\begin{smallmatrix}X\times \iota_Y\\ X \times \iota_Z\end{smallmatrix}\right] : X\times Y + X\times Z \xrightarrow{\kern3em}X\times(Y+Z)\] indotta dalle inclusioni \(\iota_Y,\iota_Z : Y,Z \to Y+Z\). Questa funzione è biiettiva, come è facile verificare.
Mi piacerebbe tantissimo che fosse misurabile, e che inducesse un isomorfismo tra le \(\sigma\)-algebre \(\Sigma_X\otimes(\Sigma_Y\oplus \Sigma_Z)\) e \((\Sigma_X\otimes \Sigma_Y)\oplus (\Sigma_X\otimes \Sigma_Z)\). E' vero?
Risposte
Mi sembra che:
1. \((X\times Y, \Sigma_X\otimes\Sigma_Y)\) abbia la proprietà universale del prodotto
2. \((X\amalg Y, \Sigma_X\oplus\Sigma_Y)\) abbia la proprietà universale del coprodotto
3. La distributività del prodotto sul coprodotto sia una mappa misurabile rispetto a queste \(\sigma\)-algebre.
Questa era la cosa più pelosa da verificare, ma è sufficiente farlo su una base: se si chiama \(\delta : X\times Y + X \times Z \to X\times(Y+Z) \) la distributività in questione, un evento nella base del dominio è della forma \(B\times U\) o \(B\times V\) e \(\delta\) lo manda in sé stesso, guardando $U$ (resp., $V$) come evento in $Y+Z$); questo dice che \(\delta^{-1}\) è misurabile; in maniera del tutto simile \(\delta\) è misurabile, e fine.
Questo è molto positivo, perché allora so fare una cosa interessante: alzare l'intera struttura di categoria distributiva, rispettivamente
- dalla cat degli spazi misurabili a quella dei nuclei di Markov
- dalla cat degli spazi polacchi a quella degli spazi di Borel standard
- dalla cat degli spazi di Hausdorff compatti a quella delle \(C^\ast\)-algebre commutative e unitarie e mappe positive: https://arxiv.org/abs/math-ph/0211067
1. \((X\times Y, \Sigma_X\otimes\Sigma_Y)\) abbia la proprietà universale del prodotto
2. \((X\amalg Y, \Sigma_X\oplus\Sigma_Y)\) abbia la proprietà universale del coprodotto
3. La distributività del prodotto sul coprodotto sia una mappa misurabile rispetto a queste \(\sigma\)-algebre.
Questa era la cosa più pelosa da verificare, ma è sufficiente farlo su una base: se si chiama \(\delta : X\times Y + X \times Z \to X\times(Y+Z) \) la distributività in questione, un evento nella base del dominio è della forma \(B\times U\) o \(B\times V\) e \(\delta\) lo manda in sé stesso, guardando $U$ (resp., $V$) come evento in $Y+Z$); questo dice che \(\delta^{-1}\) è misurabile; in maniera del tutto simile \(\delta\) è misurabile, e fine.
Questo è molto positivo, perché allora so fare una cosa interessante: alzare l'intera struttura di categoria distributiva, rispettivamente
- dalla cat degli spazi misurabili a quella dei nuclei di Markov
- dalla cat degli spazi polacchi a quella degli spazi di Borel standard
- dalla cat degli spazi di Hausdorff compatti a quella delle \(C^\ast\)-algebre commutative e unitarie e mappe positive: https://arxiv.org/abs/math-ph/0211067
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