Nascita e Morte ( Stazione con "m" serventi )

[kerlux]

Salve a tutti,
Volevo chiedere il vostro aiuto nella comprensione di alcuni passaggi matematici di una dimostrazione.

Il discorso riguarda l'analisi stazionaria di una stazione di servizio con m servitori identici sviluppata sotto l'ipotesi
che il flusso degli arrivi è poissoniano e che il numero di posti in coda d'attesa è
illimitato.
Dunque il tasso di natalità è: $ lambda_i=lambda $ , $ i=1,2,...$
mentre quello di mortalità è definito come:

$\mu_i =$ $\{(i \mu , i< \mu),(m \mu , i>= \mu):}$

a questo punto si esplicita la condizione di esistenza delle probabilità stazionarie:

$\sum_{i=1}^\infty \prod_{k=0}^(i-1) (lambda_k / mu_(k+1)) < \infty $

questa la scompone come:

$\sum_{i=1}^(m-1) \prod_{k=0}^(i-1) (lambda_k / mu_(k+1)) + \sum_{i=m}^\infty \prod_{k=0}^(i-1) (lambda_k / mu_(k+1))$

e fin qui tutto ok. A questo punto però le riscrive in questo modo:

$\sum_{i=1}^(m-1) 1/(i!) (lambda / mu )^i + \sum_{i=m}^\infty 1/(m! m^(i-m)) (lambda / mu )^i $

ma non riesco a capire come

e successivamente diventa:

$\sum_{i=1}^(m-1) 1/(i!) (lambda / mu )^i + 1/(m!) (lambda / mu )^m \sum_{i=m}^\infty (lambda / (m mu) )^i < \infty $ per $lambda / (m mu) <1 $

Gli ultimi due passaggi non mi sono proprio chiari, spero possiate aiutarmi voi a risolvere questo problema.
Grazie a tutti

[kerlux]

Nessuno mi può aiutare?