N palline in m buche
Ciao a tutti, provo a postare questo esercizio, magari qualcuno riesce a darmi una mano.
$n$ palline, ciascuna con un peso $p_i$, sono lanciate in $m$ buche. Ogni buca è scelta con probabilità uniforme.
Dimostrare o confutare che il valore atteso del massimo carico di ogni buca è $1/m*\sum_{j=1}^n p_j$, dove per carico si intente la somma dei pesi delle palline capitate in una buca.
Ora, sono riuscito a modellare il problema sul carico medio di ogni buca, e questo risulta:
$E[X_i]=1/m*\sum_{j=1}^n p_j$, dove $X_i$ rappresenta il carico della buca.
Dovrei calcolare qualcosa come:
$E[max{X_i}]$
Avete qualche idea? Oppure l'equzione è da confutare, ma non ho idea di come trovare un controesempio per confutare valori attesi.
Grazie a tutti in anticipo.
$n$ palline, ciascuna con un peso $p_i$, sono lanciate in $m$ buche. Ogni buca è scelta con probabilità uniforme.
Dimostrare o confutare che il valore atteso del massimo carico di ogni buca è $1/m*\sum_{j=1}^n p_j$, dove per carico si intente la somma dei pesi delle palline capitate in una buca.
Ora, sono riuscito a modellare il problema sul carico medio di ogni buca, e questo risulta:
$E[X_i]=1/m*\sum_{j=1}^n p_j$, dove $X_i$ rappresenta il carico della buca.
Dovrei calcolare qualcosa come:
$E[max{X_i}]$
Avete qualche idea? Oppure l'equzione è da confutare, ma non ho idea di come trovare un controesempio per confutare valori attesi.
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
prova a pensare al caso di una pallina e poi pensare che più palline sono una "faccenda additiva"... no?
ps come hai modellato il problema per ottenere quel risultato che hai scritto?
ps come hai modellato il problema per ottenere quel risultato che hai scritto?
"fu^2":
prova a pensare al caso di una pallina e poi pensare che più palline sono una "faccenda additiva"... no?
ps come hai modellato il problema per ottenere quel risultato che hai scritto?
Ho definito delle variabili $Y_{i,j}$ che valgono $p_j$ se la pallina $j$ cade nella buca $i$. Quindi ho calcolato il valore medio di $Y_{i,j}$ che è $1/mp_j$. Infine calcolato $E[X_i]=E[\sum_{j=1}^n Y_{i,j}]=1/m\sum_{j=1}^n p_j$.
Per l'altra questione, ho pensato che dovrei calcolarla come:
$E[max_i X_i]=E[max_i X_i|\text{"Tutte le Xi sono uguali"}]Prob[\text{"Tutte le Xi sono uguali"}] +$
$E[max_i X_i|\text{"Non tutte le Xi sono uguali"}]Prob[\text{"Non tutte le Xi sono uguali"}]$.
Poi non so andare avanti. Cioè credo che la strada sia di confutare l'equazione ma, per questo, basterebbe anche un controesempio.
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