Moto browniano
Salve, sto svolgendo il seguente esercizio sul moto browniano e non riesco a risolverlo.
Sia $(Omega, F, P, (F_t)_(t>=0), (B_1(t), B_2(t))_(t>=0)) $ m.b. naturale. Sia $X_t = B_1 (2/3 t) - B_2 (1/3t)$ e $Y_t = B_1 (t/3 ) - B_2 (2/3t)$
a) Mostrare che $(X_t)t>=0$ e $(Y_t)_t>=0$ sono m.b. rispetto alla loro filtrazione naturale.
Allora inizio a dimostrarlo per $X_t$
Se considero una combinazione lineare di $X_t$ è ancora un processo Gaussiano e quindi anche $X_t$ sarà un processo Gaussiano (centrato).
$X_0 = 0$
Ed infine devo dimostrare che $Cov(X_t, X_s) = s ^^ t$, qui ho che:
$Cov(X_s, X_t) = E[X_s * X_t] = E[(B_1 (2/3 t) - B_2 (1/3t)) * (B_1 (2/3 s) - B_2 (1/3s))] $
Qui probabilmente sbaglio i conti o qualche ragionamento, ma non riesco a farmi venire il risultato (che dovrebbe essere s se considero s<=t)
Sia $(Omega, F, P, (F_t)_(t>=0), (B_1(t), B_2(t))_(t>=0)) $ m.b. naturale. Sia $X_t = B_1 (2/3 t) - B_2 (1/3t)$ e $Y_t = B_1 (t/3 ) - B_2 (2/3t)$
a) Mostrare che $(X_t)t>=0$ e $(Y_t)_t>=0$ sono m.b. rispetto alla loro filtrazione naturale.
Allora inizio a dimostrarlo per $X_t$
Se considero una combinazione lineare di $X_t$ è ancora un processo Gaussiano e quindi anche $X_t$ sarà un processo Gaussiano (centrato).
$X_0 = 0$
Ed infine devo dimostrare che $Cov(X_t, X_s) = s ^^ t$, qui ho che:
$Cov(X_s, X_t) = E[X_s * X_t] = E[(B_1 (2/3 t) - B_2 (1/3t)) * (B_1 (2/3 s) - B_2 (1/3s))] $
Qui probabilmente sbaglio i conti o qualche ragionamento, ma non riesco a farmi venire il risultato (che dovrebbe essere s se considero s<=t)
Risposte
osservando che è banale dimostrare:
$Cov[A-B,C-D]=Cov[A,C]-Cov[A,D]-Cov[B,C]+Cov[B,D]$
e ricordando le proprietà del Moto Browniano, facilmente trovi che
$Cov(X_s,X_t)=2/3s+s/3=s$
$Cov[A-B,C-D]=Cov[A,C]-Cov[A,D]-Cov[B,C]+Cov[B,D]$
e ricordando le proprietà del Moto Browniano, facilmente trovi che
$Cov(X_s,X_t)=2/3s+s/3=s$
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