Monete truccate e urna
Pongo alla vostra gentile attenzione un altro esercizio con eventi non equiprobabili. Il testo è il seguente:
"In un’urna ci sono due monete una truccata (probabilità che si presenti “testa" pari a $3/4$) e una equa. Calcolare:
1. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata una volta, si presenti “testa”.
2. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata $3$ volte, si presenti “testa” $3$ volte.
3. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata $3$ volte, si presenti “testa” $2$ volte.
4. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata tre volte, questa sia la moneta truccata, dato per certo che si presenta per tutte e tre le volte testa.
5. il numero di lanci minimo con la moneta truccata , perché si presenti “testa” almeno una volta con probabilità maggiore di $0.9$. "
[Risoluzione]
Definiamo gli eventi $M_e = {"scelta della moneta equa"}$, $M_t = {"scelta della moneta truccata"}$, $T = {"uscita testa"}$, $C = {"uscita croce"}$. Ogni moneta ha probabilità $1/2$ di essere pescata dall'urna ma questo credo che non ci interessi al momento.
Al punto $1)$, è sbagliato calcolare questa probabilità tramite distribuzione binomiale considerando l'uscita di $0$ volte e $1$ volta testa prima con la moneta equa e poi con la moneta truccata e quindi sommare queste probabilità?? Nel caso della moneta equa la binomale avrà ovviamente $p = 1/2$ mentre, nel caso della moneta truccata, in base al testo $p$ dovrebbe valere $3/4$.
Ovviamente non sarà la soluzione corretta dato che i primi tre punti del quesito sono simili e basterebbe reiterare il processo tre volte. Avanti, ditemi cosa ho sbagliato
"In un’urna ci sono due monete una truccata (probabilità che si presenti “testa" pari a $3/4$) e una equa. Calcolare:
1. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata una volta, si presenti “testa”.
2. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata $3$ volte, si presenti “testa” $3$ volte.
3. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata $3$ volte, si presenti “testa” $2$ volte.
4. la probabilità che, scelta una moneta a caso e lanciata tre volte, questa sia la moneta truccata, dato per certo che si presenta per tutte e tre le volte testa.
5. il numero di lanci minimo con la moneta truccata , perché si presenti “testa” almeno una volta con probabilità maggiore di $0.9$. "
[Risoluzione]
Definiamo gli eventi $M_e = {"scelta della moneta equa"}$, $M_t = {"scelta della moneta truccata"}$, $T = {"uscita testa"}$, $C = {"uscita croce"}$. Ogni moneta ha probabilità $1/2$ di essere pescata dall'urna ma questo credo che non ci interessi al momento.
Al punto $1)$, è sbagliato calcolare questa probabilità tramite distribuzione binomiale considerando l'uscita di $0$ volte e $1$ volta testa prima con la moneta equa e poi con la moneta truccata e quindi sommare queste probabilità?? Nel caso della moneta equa la binomale avrà ovviamente $p = 1/2$ mentre, nel caso della moneta truccata, in base al testo $p$ dovrebbe valere $3/4$.
Ovviamente non sarà la soluzione corretta dato che i primi tre punti del quesito sono simili e basterebbe reiterare il processo tre volte. Avanti, ditemi cosa ho sbagliato
Risposte
Considera che il mio corso non è un corso di probabilità e statistica. Ma un corso che nulla ha a che fare con tutto questo (e così il libro). Fino a quando si tratta di disegnare cdf o pdf ci posso anche arrivare, idem per eventi equiprobabili. Ho studiato quello che c'è sul libro, ovvero qualche definizione e qualche nozione sulla probabilità e ci può anche stare, il problema nasce dal fatto che teoria e pratica sono due cose diverse, dato che in sede d'esame si trovano esercizi come questo! semplici per chi ne è esperto per carità, ma per chi come me non ha mai fatto probabilità in vita sua non sono poi così semplici.. non so come tu riesca a cogliere al primo colpo la soluzione corretta, e ti invidio per questo...
per farti capire ho studiato gli assiomi della probabilità, Bayes, Probabilità totale, condizionata, congiunta e le variabili aleatorie principali... ma non ci faccio nulla con tutte queste belle nozioni teoriche se poi gli esercizi che mi trovo davanti partono in quarta
per farti capire ho studiato gli assiomi della probabilità, Bayes, Probabilità totale, condizionata, congiunta e le variabili aleatorie principali... ma non ci faccio nulla con tutte queste belle nozioni teoriche se poi gli esercizi che mi trovo davanti partono in quarta
vabbene ti ringrazio.... Cosa avrei dovuto fare, solo teoricamente, per risolvere un esercizio di questo tipo? le basi le ho (avevo intuito si dovesse usare la binomiale) ma sono le intuizioni logiche e le capacità pratiche che mi mancano...
"arnett":
Ragionare un po' più insiemisticamente: l'evento "scelgo una moneta a caso e mi esce testa" si scrive come l'unione disgiunta dell'evento "pesco la moneta truccata e mi esce testa" e dell'evento "pesco la moneta non truccata e mi esce testa".
E' l'unione poiché non ci sono altre monete che si possano pescare ed è disgiunta perché i due casi si escludono vicendevolmente.
Quindi la probabilità richiesta sarà la somma delle probabilità dei due eventi detti.
Ora, qual è la probabilità dell'evento "pesco la moneta truccata e mi esce testa"? Qui posso usare Bayes: ho infatti la probabilità che mi esca testa sapendo che ho pescato la moneta truccata e la probabilità di pescare la moneta truccata.
Si ragiona allo stesso modo per l'altro evento e si ottiene $5/8$
Ora gli altri punti si fanno con la stessa disintegrazione e la stessa applicazione di Bayes sono che poi devi usare la binomiale per trovare la probabilità che sapendo che è stata pescata la moneta (non) truccata esca $n$ volte testa.
Pure nel primo punto potevi usare la binomiale ma nel caso di un solo tentativo è inutile.
Ciò che ho indicato in grassetto è ciò a cui avevo pensato anche io, ma forse non mi sono fatto capire. Ovviamente però mi sono perso in seguito, a quelle considerazioni non sarei mai arrivato. Vabbene dai, ti ringrazio... spero che facendo qualche esercizio in più si possano rafforzare i concetti ma la vedo dura, queste materie mi stanno risultando parecchio ostiche.
Ti ringrazio. Io conosco ciò che tu chiami relazione di disintegrazione come "Teorema della probabilità Totale".
Mentre ci sono vorrei approfittare della tua gentilezza per chiederti anche un'altra cosa. Sto ripartendo un pò dalle basi e ho svolto un esercizio piuttosto banale.
"E’ stato stimato che in un villaggio africano la probabilità che un bambino nasca sieropositivo è $0,5$. Considerando casualmente $4$ bambini calcolare la probabilità che:
a) almeno un bambino sia sieropositivo;
b) almeno un bambino sia sieropositivo e uno no. "
Il punto $a)$ è immediato. Il punto $b)$ viene risolto facendo $1 - P(X=0) - P(X=4)$. $1 - P(X=0)$ rappresenta il complementare dell'evento "almeno un bambino sia sieropositivo". Quello che mi chiedo è perchè si vada poi a sottrarre la probabilità che tutti e quattro lo siano. Intuitivamente si sta andando a togliere la probabilità che tutti e $4$ i bambini siano sieropositivi rispettando dunque la richiesta "... e uno no". Ma dal punto di vista analitico questa seconda sottrazione da quale relazione discende? E' un qualche assioma o soltanto una considerazione nata dal ragionamento?
Mi scuso se ho inserito una nuova richiesta in un topic diverso ma aprirne uno nuovo per una cosa simile mi sembrava un pò ridicolo.
Mentre ci sono vorrei approfittare della tua gentilezza per chiederti anche un'altra cosa. Sto ripartendo un pò dalle basi e ho svolto un esercizio piuttosto banale.
"E’ stato stimato che in un villaggio africano la probabilità che un bambino nasca sieropositivo è $0,5$. Considerando casualmente $4$ bambini calcolare la probabilità che:
a) almeno un bambino sia sieropositivo;
b) almeno un bambino sia sieropositivo e uno no. "
Il punto $a)$ è immediato. Il punto $b)$ viene risolto facendo $1 - P(X=0) - P(X=4)$. $1 - P(X=0)$ rappresenta il complementare dell'evento "almeno un bambino sia sieropositivo". Quello che mi chiedo è perchè si vada poi a sottrarre la probabilità che tutti e quattro lo siano. Intuitivamente si sta andando a togliere la probabilità che tutti e $4$ i bambini siano sieropositivi rispettando dunque la richiesta "... e uno no". Ma dal punto di vista analitico questa seconda sottrazione da quale relazione discende? E' un qualche assioma o soltanto una considerazione nata dal ragionamento?
Mi scuso se ho inserito una nuova richiesta in un topic diverso ma aprirne uno nuovo per una cosa simile mi sembrava un pò ridicolo.
Grazie! Tornando all'esercizio delle monete, provo a dare i miei risultati. Sia $T_k$ l'evento ${"la testa si presenta k volte"}$. Sfruttando il teorema sulla probabilità totale si ottiene:
$1)$ $P(T_1) = P(T_1|M_t)*P(M_t) + P(T_1|M_e)*P(M_e) = 3/4 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 5/8$
$2)$ $P(T_3) = P(T_3|M_t)*P(M_t) + P(T_3|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 1/16 = 35/128$
$3)$ $P(T_2) = P(T_2|M_t)*P(M_t) + P(T_2|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 3/16 = 51/128$
$4)$ $P(M_t|T_3) = (P(T_3|M_t)*P(M_t))/(P(T_3)) = (0.421875 * 0.5)/(35/128) = 27/35$
dove ho calcolato tramite Binomiale le probabilità che si presenti testa $k$ volte con la moneta truccata (ed equa).
I primi tre punti possono andare?
$1)$ $P(T_1) = P(T_1|M_t)*P(M_t) + P(T_1|M_e)*P(M_e) = 3/4 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 5/8$
$2)$ $P(T_3) = P(T_3|M_t)*P(M_t) + P(T_3|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 1/16 = 35/128$
$3)$ $P(T_2) = P(T_2|M_t)*P(M_t) + P(T_2|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 3/16 = 51/128$
$4)$ $P(M_t|T_3) = (P(T_3|M_t)*P(M_t))/(P(T_3)) = (0.421875 * 0.5)/(35/128) = 27/35$
dove ho calcolato tramite Binomiale le probabilità che si presenti testa $k$ volte con la moneta truccata (ed equa).
I primi tre punti possono andare?
provo a ricontrollare!
EDIT: mi risultano di nuovo gli stessi calcoli. Forse c'è un errore di fondo nel calcolo tramite binomiale.
$P(T_3) = P(T_3|M_t)*P(M_t) = 0.421875 * 0.5 $?
$P(T_3|M_e)*P(M_e) = 0.125 * 0.5 $?
Sono questi i valori numerici che mi escono considerando di ottenere $3$ volte testa con la moneta truccata con $n = 3$, $p = 3/4$ e $3$ volte testa con la moneta equa con $n = 3$ e $p = 1/2$.
Considerazioni analoghe ho fatto per questo punto.
EDIT: mi risultano di nuovo gli stessi calcoli. Forse c'è un errore di fondo nel calcolo tramite binomiale.
$2)$ $P(T_3) = P(T_3|M_t)*P(M_t) + P(T_3|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 1/16 = 35/128$
$P(T_3) = P(T_3|M_t)*P(M_t) = 0.421875 * 0.5 $?
$P(T_3|M_e)*P(M_e) = 0.125 * 0.5 $?
Sono questi i valori numerici che mi escono considerando di ottenere $3$ volte testa con la moneta truccata con $n = 3$, $p = 3/4$ e $3$ volte testa con la moneta equa con $n = 3$ e $p = 1/2$.
$3)$ $P(T_2) = P(T_2|M_t)*P(M_t) + P(T_2|M_e)*P(M_e) = 27/128 + 3/16 = 51/128$
Considerazioni analoghe ho fatto per questo punto.
Evvai!!!! Del punto $4)$ che mi dici??
"MrEngineer":
$4)$ $P(M_t|T_3) = (P(T_3|M_t)*P(M_t))/(P(T_3)) = (0.421875 * 0.5)/(35/128) = 27/35$
l'ho già calcolato
forse non te ne sei accorto! volevo sapere se il calcolo fosse giusto
Perfetto! Resta il punto $5)$ che sinceramente non ho mai incontrato. Ho ragionato come indicato qui e mi viene un $n = 1.66$ circa, da arrotondare ovviamente a $2$ dato che $1.66$ lanci non si possono mai fare Può essere?
Può essere?
Con $n = 2$ mi risultava una probabilità di circa $0.93$ se non ricordo male, quindi maggiore di $0.9$. Grazie per le dritte e le conferme sui calcoli!
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