Momento terzo di una variabile aleatoria

[bio1998]

Salve a tuti
Ho dubbi con il seguente esercizio:
Ho due variabili aleatorie indipendenti, $ X~Γ(α,λ) $ e $ Y~Γ(α,μ) $
Mi viene chiesto di trovare il momento terzo di $ Z = X - Y $
Sto ragionando da 20 minuti ma non capisco proprio da dove iniziare, qualcuno riuscirebbe a darmi una mano?
Ah dimenticavo, la parametrizzazione usata $ ((α^λ)/(Γ(α))(x^(α-1))(e^(-λx))) $
Grazie mille in anticipo

[Lo_zio_Tom]

"bio1998":
Sto ragionando da 20 minuti ma non capisco proprio da dove iniziare

in 20 minuti avrai prodotto qualche cosa.....se ti chiedessi i momementi di X e Y separatamente come faresti?

EDIT: bravo per la parametrizzazione....sono 3 giorni che lo scrivo...pare ci sia un'epidemia di distribuzioni gamma..però hai sbagliato a scrivere la densità....$alpha^lambda$??

Ecco la soluzione...per favore pensa ragiona....e solo dopo apri lo spoiler, grazie

La densità corretta è ovviamente questa

$lambda^alpha/(Gamma(alpha))x^(alpha-1)e^(-lambdax)$

e lo si capisce dal fatto che ponendo $alpha=1$ trovi una esponenziale negativa...$lambdae^(-lambdax)$

Facilmente puoi scrivere

$mathbb{E}[Z^3]=mathbb{E}[(X-Y)^3]=mathbb{E}[X^3-3X^2Y+3XY^2-Y^3]=$

$=mathbb{E}[X^3]-3mathbb{E}[X^2]mathbb{E}[Y]+3mathbb{E}[X]mathbb{E}[Y^2]-mathbb{E}[Y^3]$

e calcolarti i momenti tramite le funzioni generatrici dei momenti
occhio che occorre fare delle assunzioni sui parametri $lambda, mu$

[bio1998]

Chiedo scusa, ho invertito base ed esponente.

Ad esempio prendendo in esame il momento di X farei così :
$ E(X^3) = (α(α+1)(α+2))/λ^3 $
Stessa cosa per il momento terzo di Y ma con $ μ^3 $ al denominatore

[bio1998]

Va bene, grazie mile
Ora provo da solo, poi guardo la soluzione e controllo