Momenti di ordine k

[aram1]

Se si definiscono momento di ordine k $\int_0 ^1 x^k F dx$ e valore atteso di una variabile aleatoria $x$ come $\int_0^1 x F dx$, posso dire che il momento di ordine k è il valore atteso di $x^k$. Ora, la F che compare nell'integrale è una distribuzione di probabilità, giusto? Quindi, essendo tale, è sempre non negativa. Inoltre, essendo l'integrale calcolato tra 0 e 1, posso concludere che un momento di ordine k così definito è sempre non negativo?

[niandra82]

No, se prendi ad esempio il momento di ordine 1 (la media classica) di due variabili negative, verrà per forza negativo......

[aram1]

ma il fatto che l'integrale sia tra 0 e 1 non conta niente?

[niandra82]

assolutamente no.....nela formula si moltiplica una funzione sempre positiva, F, per un valore x....è naturale che il segno dipenda dal segno di x....non capisco perchè secondo te, il fatto che l'integrazione sia tra 0 e 1 cambi qualcosa

[niandra82]

e poi....perchè l'integrale è tra 0 e 1....guarda che sbagli, l'integrazione è tra meno infinito e infinito

[enr87]

"niandra82":assolutamente no.....nela formula si moltiplica una funzione sempre positiva, F, per un valore x....è naturale che il segno dipenda dal segno di x....non capisco perchè secondo te, il fatto che l'integrazione sia tra 0 e 1 cambi qualcosa

se l'integrazione è su un intervallo positivo, come fai ad avere una x negativa? come dire che il centro di massa di un filo disposto su un intervallo positivo cade su una x negativa

"niandra82":e poi....perchè l'integrale è tra 0 e 1....guarda che sbagli, l'integrazione è tra meno infinito e infinito

vero, però il caso che ha citato sopra non è così trascendentale: prendi una v.a. uniforme in (0,1)

[aram1]

quindi, enr87 dici quello che ho detto può essere giusto?

[enr87]

sì, se hai capito perchè. la definizione di valore atteso è quella che ti ha detto sopra niandra, mentre quello che hai scritto tu ne è un caso particolare, che si ottiene nel caso in cui la densità sia diversa da 0 solo nell'intervallo (0,1) (a titolo di esempio ho citato la uniforme in (0,1)). l'importante è avere chiaro questo.

[aram1]

in realtà sul libro che ho(Feller, Introduction to probability theory and its applications) non è specificato che si tratta della distribuzione uniforme definita in (0,1). in quel caso mi sembrerebbe ovvio. invece nel mio caso dice solo che è una distribuzione di probabilità. però forse non è vero che l'integrale di una densità è sempre positivo? e anche se faccio l'integrale (tra 0 e 1, per rispettare la definizione) di tale densità generica moltiplicata per $x^k$, non ottengo sempre qualcosa di non negativo?

[enr87]

la densità è sempre positiva, pensa al caso discreto che viene poi generalizzato al continuo. nel caso (continuo) di una variabile è una densità per unità di lunghezza, nel caso di due una densità per unità di superficie, e così via.
ti ripeto che ho citato l'uniforme per pura semplicità, ma nulla vieta che ci possano essere altre densità diverse da 0 tra 0 e 1 e nulle altrove: d'altra parte è sufficiente prendere una qualsiasi funzione sempre positiva (non negativa) il cui integrale sia pari ad 1 nell'intervallo (0,1).
comunque se vogliamo prendere esattamente la definizione di valore atteso: $E(X) = int_{-infty}^{+infty}x f_X(x) dx$.
se il dominio di integrazione è positivo, è ovvio che quell'integrale è positivo.

[aram1]

grazie!