Moltiplicatori dinamici serie storiche

[petrino]

Buongiorno, ragazzi, qualcuno di voi ha mai sentito parlare dei c.d. moltiplicatori dinamici? Sto preparando un esame universitario di econometria e il libro mi da' questa definizione: la misura della variazione attesa del processo y al tempo t+s rispetto alla variazione infinitesima di $ epsilon_t $ cioè, una derivata sostanzialmente
$ (partial E(y_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) $
Il processo è il seguente $ y_t=alpha+mut+Psi(L)epsilon_t $ dove $ epsilon_t $ è un white noise e con l'ipotesi ulteriore $ E(epsilon_t|I_(t-1))=0 $. Detto ciò non riesco a capire il seguente passaggio, quando vado a calcolare il moltiplicatore dinamico del processo
$ (partial E(alpha+mu(t+s)+Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) = (partial E(epsilon_(t+s)+psi_1epsilon_(t+s-1)+...+psi_sepsilon_t+...|I_t))/(partial epsilon_t)=psi_s $ in particolare queste due ultime uguaglianze:
immagino che i termini $ alpha $ e $ mu(t+s) $ scompaiono per l'ipotesi del valore atteso condizionato alla storia passata nullo, e quindi mi resta solo la sequenza dei wn, ma perché la derivata di questa sequenza rispetto ad $ epsilon_t $ è uguale a $ psi_s $? In attesa di una risposta ringrazio e saluto

Poi continua dicendo che per la condizione $ sum|psi_j|

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Risposte

petrino

13 dic 2019, 15:57

Niente come non detto, ci sono... Che stonato, non me ne ero proprio accorto XD

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petrino

16 dic 2019, 18:56

Scusate ancora, non mi torna il calcolo. Dunque questi sono passaggi che fa il testo:
$ (partial E(alpha+mu(t+s)+Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) = (partial E(epsilon_(t+s)+psi_1epsilon_(t+s-1)+...+psi_sepsilon_t+...|I_t))/(partial epsilon_t)=psi_s $
a cui provo a dare la seguente giustificazione. Partendo da $ (partial E(alpha+mu(t+s)+Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) $ per la linearità del valore atteso dovrebbe essere $ (partial)/(partial epsilon_t)(alpha+mu(t+s)+E(Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t)) $ ovviamente sia la derivata di $ alpha $ che la derivata di $ mu(t+s) $ rispetto a $ epsilon_t $ sono nulle ecco che mi rimane la seconda uguaglianza $ (partialE(Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t)=(partialE(1epsilon_(t+s)+psi_1epsilon_(t+s)+...+psi_sepsilon_(t+s-s)+...|I_t))/(partial epsilon_t) $ il valore atteso della somma posso vederlo come la somma dei valori attesi, nel momento in cui vado a derivare ciascun valore atteso rispetto a $ epsilon_t $ mi dovrebbe restare solo $ (partialE(psi_sepsilon_(t)|I_t))/(partial epsilon_t)=psi_s(partialE(epsilon_(t)|I_t))/(partial epsilon_t) $ (in quanto le altre derivate dei valori attesi degli $ epsilon_(t+s-j) $ rispetto ad $ epsilon_t $ sono nulli) se non ho fatto errori dovrebbe essere così. Ma una domanda, se $ epsilon_t $ è un white noise, che per definizione ha media zero, come può questa derivata essere uguale a $ psi_s $
Mi fate sapere gentilmente? Grazie

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[petrino]

Niente come non detto, ci sono... Che stonato, non me ne ero proprio accorto XD

[petrino]

Scusate ancora, non mi torna il calcolo. Dunque questi sono passaggi che fa il testo:
$ (partial E(alpha+mu(t+s)+Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) = (partial E(epsilon_(t+s)+psi_1epsilon_(t+s-1)+...+psi_sepsilon_t+...|I_t))/(partial epsilon_t)=psi_s $
a cui provo a dare la seguente giustificazione. Partendo da $ (partial E(alpha+mu(t+s)+Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t) $ per la linearità del valore atteso dovrebbe essere $ (partial)/(partial epsilon_t)(alpha+mu(t+s)+E(Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t)) $ ovviamente sia la derivata di $ alpha $ che la derivata di $ mu(t+s) $ rispetto a $ epsilon_t $ sono nulle ecco che mi rimane la seconda uguaglianza $ (partialE(Psi(L)epsilon_(t+s)|I_t))/(partial epsilon_t)=(partialE(1epsilon_(t+s)+psi_1epsilon_(t+s)+...+psi_sepsilon_(t+s-s)+...|I_t))/(partial epsilon_t) $ il valore atteso della somma posso vederlo come la somma dei valori attesi, nel momento in cui vado a derivare ciascun valore atteso rispetto a $ epsilon_t $ mi dovrebbe restare solo $ (partialE(psi_sepsilon_(t)|I_t))/(partial epsilon_t)=psi_s(partialE(epsilon_(t)|I_t))/(partial epsilon_t) $ (in quanto le altre derivate dei valori attesi degli $ epsilon_(t+s-j) $ rispetto ad $ epsilon_t $ sono nulli) se non ho fatto errori dovrebbe essere così. Ma una domanda, se $ epsilon_t $ è un white noise, che per definizione ha media zero, come può questa derivata essere uguale a $ psi_s $
Mi fate sapere gentilmente? Grazie