Modello statistico

[valentinax89]

E ragionevole assumere che il tempo t (in mesi) di tracciabilita nel plasma di un composto farmacologico a somministrazione singola segua, dal momento della somministrazione, una legge esponenziale. Interessa verificare se il tempo mediano sia pari a 2 mesi. A tal fine, si raccoglie un campione del tempo di tracciabilita su 20 cavie. Lo strumento che si utilizza per le misurazioni, pero, non restituisce direttamente il tempo t, bensì un valore y ottenuto a partire da t tramite la relazione

$y = [log (e^t/(e^t-1))^0.5]$

Si specifichi un modello statistico per i dati $y_1,...,y_20$...

Allora mi viene da pensare di esplicitare la t...ma onestamente non capisco come fare

Questa è la soluzione: assumendo che t sia la realizzazione di una variabile casuale T , esponenziale con paramentro $alpha$, si ottiene $p(y,alpha) = 2alphaye^-(y^2) (1-e^-(y^2))^(alpha-1)$ con $y> 0$ $alpha > 0$...


Secondo dubbio:

In una stazione idrometrica lungo il fiume Po, sono stati registrati per 20 anni, dal 1991 al 2010, i massimi annuali delle portate al colmo di piena (in $m^3 /s$ ): $y_1,...,y_20$.
Come possibile modello statistico per i dati disponibili, si ipotizza che le osservazioni siano realizzazioni indipendenti di
$500 log T $ con T tale che $Pr(T > t; theta) = exp{-t^theta}$

Si specifichi il modello statistico per i dati a disposizione...


Anche qui la soluzione $p(y_i;theta) = theta/500 exp{thetay_i/500 - e^((thetay_i)/500)}$


Ho guardato le leggi di variabili casuali trasformate, ma non riesco ad applicarle a questi esercizi.

[walter891]

il secondo credo si possa fare così: conoscendo la distribuzione di $T$ puoi trovare quella di $500logT$ che viene $1-exp(-e^(thetay_i/500))$ poi derivando ottieni la densità

[valentinax89]

"Sergio":
Si può fare così:
\( \displaystyle y=\frac{1}{2}\log\frac{e^t}{e^t-1}=\frac{1}{2}\log\frac{1}{1-e^{-t}}\Rightarrow 2y=\log(1)-\log(1-e^{-t})=-\log(1-e^{-t}) \)
poi: \( \displaystyle e^{2y}=\frac{1}{1-e^{-t}}\Rightarrow e^{-t}=1-e^{-2y}\Rightarrow t=-\log(1-e^{-2y}) \)

Mi sono accorta che ho fatto un errore è tutto il logaritmo ad essere elevato alla 0.5 quindi:


$ y = [log (e^t/(e^t-1))]^0.5 $

provo a vedere se riesco a calcolarlo...

[valentinax89]

"Sergio":[quote="valentinax89"]Allora mi viene da pensare di esplicitare la t...ma onestamente non capisco come fare

Si può fare così:
\( \displaystyle y=\frac{1}{2}\log\frac{e^t}{e^t-1}=\frac{1}{2}\log\frac{1}{1-e^{-t}}\Rightarrow 2y=\log(1)-\log(1-e^{-t})=-\log(1-e^{-t}) \)
poi: \( \displaystyle e^{2y}=\frac{1}{1-e^{-t}}\Rightarrow e^{-t}=1-e^{-2y}\Rightarrow t=-\log(1-e^{-2y}) \) [/quote]



$ y = [log (e^t/(e^t-1))]^0.5 \Rightarrow y^2 = [log (e^t/(e^t-1))] \Rightarrow y^2 = [log (1/(1-e^-t))]$

$ y^2 = log(1) - log(1-e^-t) \Rightarrow y^2 = - log(1-e^-t) \Rightarrow e^(y^2) = 1/(1-e^-t) $

$ e^-t = 1 - e^(y^2) \Rightarrow t = -log(1-e^(-y^2)) $



Quindi derivo : $ t^{\prime} = (-2ye^(-y^2)) / (1- e^(-y^2)) $

Sostituisco : $f_Y(y) = (2alphae^(-y^2))/(1-e^(-y^2)) e^(log(1-e^(-y^2))^alpha) \Rightarrow 2alphae^(-y^2) (1-e^(-y^2))^(alpha -1)$