Modelli lineari generalizzati

[Frasandro]

Buon pomeriggio a tutti,

Nell'ambito dei GLM, vorrei sapere quando la funzione legame (link function), funzione che lega il valore atteso di $Y$ al predittore linerare $ eta _i $ , è "anche" legame canonico....

Grazie

[Lo_zio_Tom]

premesso che l'argomento non è facilmente riassumibile, partendo dall'assunzione che nel modello lineare generalizzato gli errori (non necessariamente distribuiti normalmente) $in $ famiglia esponenziale, se scegliamo $g(mu_i)=eta_i =theta_i$ allora tale funzione legame si dice anche legame canonico perché coincide con il parametro naturale della famiglia esponenziale.


Guarda bordeggiando un po' in rete che bel lavoro che ho trovato (gli ho dato una rapida occhiata ma mi sembra molto ben strutturato)

[Lo_zio_Tom]

A pagina 10 della dispensa c'è una tabella riassuntiva delle principali distribuzioni (senza i relativi conti). Vediamo ora come si arriva a tali risultati:


Distribuzione Normale

$f(y)=1/(sigmasqrt(2pi))Exp{-1/(2sigma^2)(y-m)^2}=Exp{-y^2/(2sigma^2)-m^2/(2sigma^2)+(2ym)/(2sigma^2)-logsqrt(2pisigma^2)}=$

$=Exp{(ym-m^2/2)/sigma^2-[y^2/(2sigma^2)+logsqrt(2pisigma^2)]}$

che appartiene alla famiglia esponenziale quando $theta=m$ e quindi il legame canonico è la funzione identità


Distribuzione di Poisson

$p(X)=theta^x e^(-theta)/(x !)=Exp{x logtheta-theta}1/(x!)$

poniamo $eta=logtheta$ (legame canonico) ed otteniamo, come desiderato,

$Exp{x eta -e^eta} 1/(x!)$



Distribuzione Bernulliana

$p(X)=theta^x (1-theta)^(1--x)$

$p(X)=Exp{x logtheta+(1-x)log(1-theta)}=Exp{xlog(theta/(1-theta))+log(1-theta)}$

da cui si ottiene subito

$p(X)=Exp{x eta-log(1+e)^eta}$ ponendo

$theta=e^eta/(1+e^eta) rarr eta=log(theta/(1-theta))$

e quindi il legame canonico è la funzione logit


ecc ecc

[Frasandro]

"tommik": se scegliamo $g(mu_i)=eta_i =theta_i$ allora tale funzione legame si dice anche legame canonico perché coincide con il parametro naturale della famiglia esponenziale.

era proprio quello che mi serviva !

Il file molto buono, l'ho già stampato e poi....che dire, come al solito provvidenziale ed assolutamente fantastico.

Grazie