Modelli di tempi d'attesa

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19 nov 2008, 16:16

Ciao a tutti, per l'ennesima volta sono impantanata in mezzo a un bell'esercizione di probabilità...

Vi propongo il testo e quello che ho già fatto...

Un uomo e una donna entrano nello stesso momento in due negozi uno di fronte all'altro. I tempi che ciascuno dei due passa nel negozio sono indipendenti e distribuiti esponenzialmente con tempo medio rispettivamente di 5 e 10 minuti.

a) Trovare i parametri delle due distribuzioni. (fatto)

Ho posto
H:= "tempo passato dall'uomo nel negozio"
F:="tempo passato dalla donna nel negozio"

So che E(H)=5 dunque è bastato calcolare E(H), porla =5 e ho trovato che il parametro della distribuzione esponenziale è $lambda=1/5$
per la donna in modo analogo, $lambda = 1/10$

b) Quanto tempo bisogna attendere per veder uscire uno dei due? (fatto)

Ho calcolato la probabilità $P(min {H, F}>x) $ che mi dà la funzione di ripartizione. Ho derivato e trovato la densità, e con quella ho calcolato $E(min{H, F}$ che è ciò che cercavo, e ho ottemuto 10/3.
Ok?
E ora viene il bello...

c) Qual è la probabilità che l'uomo esca dal suo negozio prima che la donna esca dal suo?

Cerco quindi $P(H Poiché il testo mi dice che H ed F sono indipendenti, posso calcolare direttamente
$\int_0^(+infty) \int_x^(+infty) f_H (x) * f_F (y) dx dy $ vero?
questo sarebbe
$\int_0^(+infty) \int_x^(+infty) 1/5 e^(-(1/5)x) * 1/10 e^(-(1/10)y) dx dy $

(credo però di aver sbagliato qualcosa nell'integrare, perché mi viene una costante di 1/500 che moltiplica il mio esponenziale bello...accetto umilmente pure consigli sulla risoluzione, per quanto sia un integrale idiota...ma sto sclerando...)

d) Supponendo che l'uomo sia uscito per primo dal suo negozio, quanto tempo deve attendere per veder uscire la donna?

...per questo no idea...
il suggerimento datoci è di calcolare innanzi tutto $P(H-F<=F)$ determinarne la densità e calcolare la speranza condizionale...piccolo problema, come si calcoli la speranza condizionale
$E(F-H|H<=F) $ non mi è eccessivamente chiaro...diciamo che vago nella nebbia

e) (ma perché non finisce mai..)
Quanto tempo deve attendere in media colui che esce per primo che il secondo esca?

Credo che questo punto abbia qualcosa in comune con il punto b)...

Ecco...sono nelle vostre mani...

Risposte

clrscr

19 nov 2008, 21:58

La C) mi sembra giusta, (riscrivo l'integrale):
$int_0^(+oo) int_x^(+oo) f_H(x)*f_F(y) dy dx=1/50*int_0^(+oo)e^(-1/5x)10*e^(-1/10x)dx=1/5int_0^(+oo)e^(-3/10x)dx=2/3$

Per la domanda D) userei il fatto che le v.a. exp sono prive di memoria, quindi il tempo che la donna trascorrerà nel negozio da quando il maschio è uscito è uguale al tempo che trascorrerebbe nel negozio se fosse appena entrata.
Quindi:
$E(F)=1/10$.

Per la E)
Qui secondo me si applica il valore atteso condizionato, cioè:
$E[\text{Tempo di attesa di prima uscita}]=E[\text{Tempo di uscita della donna | esce prima l'uomo}]*P(H Ora sfruttando l'assenza di memoria (come nell'esercizio precedente) avremo:
$E[\text{Tempo di attesa di prima uscita}]=E[F]*P(H