Modelli a urna: dove sbaglio?
Sto leggendo il Feller An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3a edizione. Sono al capitolo V paragrafo 2, si parla di probabilità condizionate e modelli a urna (urn models).
L'esempio (d) parla di un modello schematizzato mediante due urne ed un dado. L'urna I contiene $r_1, b_1$ palle rosse e nere rispettivamente, l'urna II contiene $r_2, b_2$ palle rosse e nere rispettivamente. Viene tirato un dado bilanciato a sei facce : se esce $1$ si sceglie l'urna I, altrimenti si sceglie l'urna II. Viene quindi effettuata una estrazione con rimessa di $n$ palle.
Il libro calcola la probabilità che esca una palla rossa alla prima estrazione (evento $R$): usando la formula di probabilità totale vede che
$P(R)=1/6\frac{r_1}{r_1+b_1}+5/6\frac{r_2}{r_2+b_2}$;
E fin qui mi convince. Adesso consideriamo l'evento $R R$: palla rossa alla prima e alla seconda estrazione. Io avrei detto che la probabilità di questo evento è $P(R)*P(R)$, perché (teorema della probabilità composta)
$P(R R)=P(R)*P(R R|R)$;
e $P(R R|R)=P(R)$ perché l'estrazione avviene con rimessa. Invece il libro scrive
$P(R R)=1/6(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2+5/6(\frac{r_2}{r_2+b_2})^2$;
senza giustificazioni; perché?
L'esempio (d) parla di un modello schematizzato mediante due urne ed un dado. L'urna I contiene $r_1, b_1$ palle rosse e nere rispettivamente, l'urna II contiene $r_2, b_2$ palle rosse e nere rispettivamente. Viene tirato un dado bilanciato a sei facce : se esce $1$ si sceglie l'urna I, altrimenti si sceglie l'urna II. Viene quindi effettuata una estrazione con rimessa di $n$ palle.
Il libro calcola la probabilità che esca una palla rossa alla prima estrazione (evento $R$): usando la formula di probabilità totale vede che
$P(R)=1/6\frac{r_1}{r_1+b_1}+5/6\frac{r_2}{r_2+b_2}$;
E fin qui mi convince. Adesso consideriamo l'evento $R R$: palla rossa alla prima e alla seconda estrazione. Io avrei detto che la probabilità di questo evento è $P(R)*P(R)$, perché (teorema della probabilità composta)
$P(R R)=P(R)*P(R R|R)$;
e $P(R R|R)=P(R)$ perché l'estrazione avviene con rimessa. Invece il libro scrive
$P(R R)=1/6(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2+5/6(\frac{r_2}{r_2+b_2})^2$;
senza giustificazioni; perché?
Risposte
Ne capisco poco di urne ed in genere di teoremi e formule, provo, comunque, a darti una mia interpretazione al quesito:
Secondo me, il libro presuppone che il dado venga tirato una sola volta, se esce 1 vengono effettuate 2 estrazioni dall'urna 1, se esce un numero diverso da 1 vengono effettuate due estrazione dalla seconda urna.
Nel tuo calcolo, invece, consideri di:
lanciare il dado, e pescare una pallina da una delle due urne
Rilanciare il dado, e prendere la seconda pallina.
Da qui, la differenza dei due calcoli.
Secondo me, il libro presuppone che il dado venga tirato una sola volta, se esce 1 vengono effettuate 2 estrazioni dall'urna 1, se esce un numero diverso da 1 vengono effettuate due estrazione dalla seconda urna.
Nel tuo calcolo, invece, consideri di:
lanciare il dado, e pescare una pallina da una delle due urne
Rilanciare il dado, e prendere la seconda pallina.
Da qui, la differenza dei due calcoli.
Certo, Umby, grazie. E' sicuramente come dici tu, nel mio modello il dado viene tirato ogni volta invece va tirato una volta sola. Ora cerco di calcolare la probabilità di $R R$.
E infatti era facile. Chiamo $H_1$ l'evento "viene scelta la prima urna", $H_2$ l'evento "viene scelta la seconda urna". I due eventi sono mutuamente esclusivi e almeno uno di essi occorre sempre. Inoltre $P(H_1)=1/6, P(H_2)=5/6$. La formula di probabilità totale dice che
$P(R R)=P(R R|H_1)P(H_1)+P(R R|H_2)P(H_2)$;
è qui che devo applicare il ragionamento di sopra, osservando che $P(R R |H_1)=P(R |H_1)*P(R|H_1)=(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2$ e analogamente l'altro fattore. In conclusione
$P(R R)=1/6(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2+5/6(\frac{r_2}{r_2+b_2})^2$.
Grazie ancora per l'aiuto. Andando avanti di questo passo, forse riuscirò a finire il paragrafo prima delle 3 del mattino.
$P(R R)=P(R R|H_1)P(H_1)+P(R R|H_2)P(H_2)$;
è qui che devo applicare il ragionamento di sopra, osservando che $P(R R |H_1)=P(R |H_1)*P(R|H_1)=(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2$ e analogamente l'altro fattore. In conclusione
$P(R R)=1/6(\frac{r_1}{r_1+b_1})^2+5/6(\frac{r_2}{r_2+b_2})^2$.
Grazie ancora per l'aiuto. Andando avanti di questo passo, forse riuscirò a finire il paragrafo prima delle 3 del mattino.
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