Misurabilità: l'idea intuitiva
Ultimamente sto frequentando un corso nel quale, molto spesso, ci si ritrova con una famiglia di v.a. ${X_t}_{t \in RR}$ e si indica con $ccF_u$ la sigma-algebra generata dalle v.a. ${X_t\ :\ t <=u}$ (i.e. la più piccola sigma-algebra di eventi rispetto alla quale tutte le ${X_t\ :\ t <=u}$ sono misurabili). Data una v.a. $X$, molti risultati poggiano sull'ipotesi che $X$ sia $ccF_u$-misurabile.
Ma come interpretare intuitivamente quest'ultima ipotesi? Come "vedere" il fatto che una v.a. sia misurabile rispetto ad una sotto sigma-algebra di eventi?
Ma come interpretare intuitivamente quest'ultima ipotesi? Come "vedere" il fatto che una v.a. sia misurabile rispetto ad una sotto sigma-algebra di eventi?
Risposte
"dissonance":
Ma come interpretare intuitivamente quest'ultima ipotesi?
Immagino che stai facendo un corso di processi stocastici
se conosci le catene di markov, quell'ipotesi acquista un significato particolare. (passando dunque al discreto)
se guardi a pag.565 di http://books.google.it/books?id=OjCdpQQ ... &q&f=false
puoi trovare questo fatto. Quella condizione in sostanza si scrive come [tex]\mathcal{F}_n=\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e da un punto di vista pratico questo ti dice quali informazioni conosci sul sistema, qual'è il filtro delle tue conoscenze sul processo, sai che il passo successivo in qualche modo è indipendente dalle tue conoscenze del presente in quanto devi aggiungerci un gradino in più [tex]X_{n+1}[/tex].
Queste tre righe scritte male puoi vederle formalizzate pensando un attimo a tutta la teoria delle catene di Markov, in particolare tutta la parte sui tempi di arresto... Il caso discreto tal volta aiuta
Ricordati, concludendo, che la struttura di $\sigma$-algebra che hai su uno spazio ti dice quanto conosci di quello spazio in quanto essa modellizza gli eventi possibili che puoi vedere
"dissonance":
Come "vedere" il fatto che una v.a. sia misurabile rispetto ad una sotto sigma-algebra di eventi?
un metodo può essere vedere che è "indipendente rispetto al futuro", come accennato prima.
E dalle con questo *** di Shiriyaev!!! 
Ti piace proprio, eh? A me piace moltissimo l'illustrazione della sottocopertina (quella intitolata "Order out of chaos") e oltre quella non sono andato.
A parte gli scherzi, come avrai capito non conosco le catene di Markov.
Inoltre il link che hai passato, non capisco perché, non funziona: non si legge il libro ma solo una pagina bianca. Mi dici a che pagina del libro hai puntato, per favore?
Inoltre io stavo pensando ad una idea intuitiva MOLTO più terra-terra di quanto proponi tu. Infatti notavo che $X$ ed $ccF$ sono indipendenti (si dice così? intendo che $X$ e $chi_B$ sono indipendenti per ogni $B \in ccF$) se e solo se
$E(f(X) | ccF)=E(f(X))$ per ogni $f$ misurabile;
di converso, se $X$ è $ccF$-misurabile, allora
$E(f(X) | ccF)=f(X)$ per ogni $f$ misurabile.
Quindi mi sono fatto l'idea che dire "$X$ è $ccF$-misurabile" è un po' come dire il contrario di "$X$ e $ccF$ sono indipendenti", e perciò di classificare mentalmente la misurabilità rispetto ad $ccF$ come una sorta di "dipendenza" di $X$ da $ccF$.
Che ne pensi? E' mooolto approssimativo, ma forse può andare.
Ti piace proprio, eh? A me piace moltissimo l'illustrazione della sottocopertina (quella intitolata "Order out of chaos") e oltre quella non sono andato.
A parte gli scherzi, come avrai capito non conosco le catene di Markov.
Inoltre il link che hai passato, non capisco perché, non funziona: non si legge il libro ma solo una pagina bianca. Mi dici a che pagina del libro hai puntato, per favore?Inoltre io stavo pensando ad una idea intuitiva MOLTO più terra-terra di quanto proponi tu. Infatti notavo che $X$ ed $ccF$ sono indipendenti (si dice così? intendo che $X$ e $chi_B$ sono indipendenti per ogni $B \in ccF$) se e solo se
$E(f(X) | ccF)=E(f(X))$ per ogni $f$ misurabile;
di converso, se $X$ è $ccF$-misurabile, allora
$E(f(X) | ccF)=f(X)$ per ogni $f$ misurabile.
Quindi mi sono fatto l'idea che dire "$X$ è $ccF$-misurabile" è un po' come dire il contrario di "$X$ e $ccF$ sono indipendenti", e perciò di classificare mentalmente la misurabilità rispetto ad $ccF$ come una sorta di "dipendenza" di $X$ da $ccF$.
Che ne pensi? E' mooolto approssimativo, ma forse può andare.
"fu^2":
se guardi a pag.565 di
ehhh lo Shiriyaev è un gran libro, le prime letture le ho trovate incomprensibili, ma poi dopo ci si abitua e prendi confidenza più che altro è completo, ha dentro tutto (o quasi).
comunque quello che dici te è il girare intorno alla definizione di $\mathcal{F}$. Comunque si, anche quello che dici te non è sbagliato alla fine se leggi le mie righe (togliendo catene di Markov che era un di più nel caso le conoscevi)
"Quella condizione in sostanza si scrive come [tex]\mathcal{F}_n=\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e da un punto di vista pratico questo ti dice quali informazioni conosci sul sistema, qual'è il filtro delle tue conoscenze sul processo, sai che il passo successivo in qualche modo è indipendente dalle tue conoscenze del presente in quanto devi aggiungerci un gradino in più [tex]X_{n+1}[/tex]. "
in sostanza dicono quello che dici te, ovvero se $X\in \mathcal{F}$, allora di $X$ sai tutto, al contempo se $X$ non sta in questa $\sigma$-algebra, non conosci nessuna informazione al riguardo (ovvero sono, come dici te, indipendenti).
Semplicemente a me viene meglio pensare il tutto come un sistema in evoluzione e quindi quella sigma-algebra che hai scritto ti dice appunto fino a che punto conosci l'evoluzione del sistema studiato (ovviamente un sistema in cui il futuro non dipende dal passato).
ps non so in che ambito si chiamano così, ma talvolta $\mathcal{F}_n$ l'ho sentita chiamare "filtro generato dalle $X_n$" e questo nome descrive bene la cosa
ciao!
più che altro è completo, ha dentro tutto (o quasi).comunque quello che dici te è il girare intorno alla definizione di $\mathcal{F}$. Comunque si, anche quello che dici te non è sbagliato
alla fine se leggi le mie righe (togliendo catene di Markov che era un di più nel caso le conoscevi)"Quella condizione in sostanza si scrive come [tex]\mathcal{F}_n=\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e da un punto di vista pratico questo ti dice quali informazioni conosci sul sistema, qual'è il filtro delle tue conoscenze sul processo, sai che il passo successivo in qualche modo è indipendente dalle tue conoscenze del presente in quanto devi aggiungerci un gradino in più [tex]X_{n+1}[/tex]. "
in sostanza dicono quello che dici te, ovvero se $X\in \mathcal{F}$, allora di $X$ sai tutto, al contempo se $X$ non sta in questa $\sigma$-algebra, non conosci nessuna informazione al riguardo (ovvero sono, come dici te, indipendenti).
Semplicemente a me viene meglio pensare il tutto come un sistema in evoluzione e quindi quella sigma-algebra che hai scritto ti dice appunto fino a che punto conosci l'evoluzione del sistema studiato (ovviamente un sistema in cui il futuro non dipende dal passato).
ps non so in che ambito si chiamano così, ma talvolta $\mathcal{F}_n$ l'ho sentita chiamare "filtro generato dalle $X_n$" e questo nome descrive bene la cosa
ciao!
OK fu, nel frattempo il corso è andato avanti e ora si sta parlando proprio di processi di Markov. Adesso inizio a capirci qualcosa anche io e il tuo post è stato utile. Grazie!
Forse dovrei fare un salto dall'oculista!
"Umby":
se guardi a pag.565
Forse dovrei fare un salto dall'oculista!
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