Miglior regione critica ipotesi composte

[stenford23]

Dato un parametro $ theta in H $
Un'ipotesi nulla $ H_0 $ ed il suo complementare $ H_1 $ tale che $ H_0 uu H_1= H $ e supposte le due ipotesi $ H_0 $ e $ H_1 $ composte, in cui perciò non si può adoperare il lemma di Neymann-Pearsonn per trovare la miglior regione critica.
Sono arrivato ad un dubbio, ovvero se fosse possibile porre delle condizioni su un generico test per verificare che esso è il più potente e quindi fornisce la miglior regione critica senza dover adoperare il metodo del rapporto di massima verosomiglianza(LR) per il quale dato :

$ (max_(theta in H_0)L(theta,ul(x)))/(max_(theta in H)L(theta,ul(x)))=lambda(x) $

avrò che $ lambda(x) < c$ sarà la miglior regione critica con $ c<1 $

Detto questo il dubbio mi arrivava dal cercare di confrontare le medie di due popolazioni normali con varianza uguale(per semplicità).

Dati i campioni i.i.d. :

$ x_(1,2,...,n) $ con $ x_i~ N(mu_0, sigma^2) $
$ y_(1,2,...,m) $ con $ y_i~ N(mu_1, sigma^2) $

Con
$ H_0 mu_0=mu_1$
$ H_1 mu_0!=mu_1 $
Allora ad intuito(senza adoperare il test LR) adopero stimatori ottimali per ricavare un test.
In questo caso il test l'ho ricavato così:
Ossia adoperando stimatori ottimali se vale l'ipotesi nulla avrò che la differenza delle due medie campionarie in modulo(poi reso inutile dall'elevamento al quadrato) sarà nullo altrimenti sarà maggiore di un certo valore $ C_(alpha) $

Per definire la distribuzione del mio test adopero anche la varianza campionaria ottenendo alla fine il test F:

$ F= (bar(x_n) -bar(y_n))^2 /((SSx+SSy)/(n+m-2)*(1/n+1/m)) ~ F(1,n+m-2) $

Quindi rigetterò l'ipotesi nulla se $ P_(H_0) (F>c_(alpha)) =alfa $

Per verificare che è la miglior regione critica non si può utilizzare il lemma di Neymann-Pearson in quanto ipotesi composte e quindi l'unico metodo è usare il rapporto di massima verosomiglianza? O si può fare altrimenti?
In classe per questo tipo di esercizio ha fatto questo sviluppo ed anche sul volume Capasso-Morale è ricavato utilizzando il metodo LR oppure partendo da come ho fatto io
Perchè a parte la distribuzione della normale se si volesse fare test su altre distribuzioni può capitare che con il metodo LR non si riesca a ricavare esplicitamente una funzione $ lambda(x) $ , mentre andando a fare test utilizzando stimatori ottimali è molto più comodo e veloce.

[stenford23]

ok andando a spulciare su internet ed altri libri ho visto che in questo particolare caso se dato $H_0=theta_0 $ $H_1!=theta_0 $:
$ f(x)=c(theta)*e^(q(theta)*T(x))*h(x) $
con $ C(theta) >0 , Q(theta)$ non decrescente allora
$ Phi(x)= { ( 1 ),( 0 ):} $ se $V(x)=sum(T(x_i))c2 $ nel primo caso $0 $ altrimenti nel secondo caso.
è un test umpu per confrontare $H_0 $ contro $H_1 $ se soddisfa anche le condizioni di soglia e correttezza:
$k(theta_0)=alpha $ e $k(theta)>=alpha AA theta>theta_0 vv theta Quindi in generale se una funzione di densità è riconducibile ad una esponenziale ed ha proprietà di monotonia si può adoperare questo particolare test, che poi a conti è simile a quello fatto precedentemente?
sono aperto a suggerimenti

[stenford23]

Grazie mille!!!