Metodo massima verosimiglianza
Buongiorno a tutti quanti!
Sto avendo un po' di problemi a risolvere un esercizio, volevo avere un parere da voi su questa soluzione.
(Scusate ma sto traducendo un testo dal portoghese, spero che il problema sia comprensibile)
Problema: Sviluppare la funzione di verosimiglianza per un test corrispondente a n sorteggi indipendenti di una moneta, essendo la probabilità dell'evento "testa" uguale a $p$ e quella dell'evento "croce" $1-p$
1) Sviluppare una formula per lo stimatore di massima verosimiglianza di $p$
Risoluzione
Chiamo $p(x)=p^x*(1-p)^(1-x)$
Se $x=1$ ottengo "testa", se $x=0$ ottengo "croce"
Ora dico che su un numero di sorteggi $n$, ottengo $m$ volte "testa" e $n-m$ volte "croce"
L'idea di base è quella di fare questa trasformazione, che spero non sia un orrore matematico:
$prod_(i = 1)^(n)$$p^(x_i)*(1-p)^(1-x_i)$$=$$prod_(i = 1)^(m)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$p^(x_i)*(1-p)^(1-x_i)$
Ponendo una volta $x=0$ ed una volta $x=1$ (rispettivamente quando si verifica l'evento "testa" o l'evento "croce") ottengo questo:
$prod_(i = 1)^(m)$$p^(1)*(1-p)^(1-1)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$p^(0)*(1-p)^(1-0)$
Che diventa
$prod_(i = 1)^(m)$$p^(1)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$(1-p)^(1)$
Quindi
$p(x)=p^m*(1-p)^(n-m)$
Questa la considero funzione di verosimiglianza $L(p)=p^m*(1-p)^(n-m)$
Per fare la massima verosimiglianza $delL(p)$$/$$del$$p$$=0$
Vi risparmio i dettagli matematici della derivata, il risultato finale a cui arrivo è che
$p=m/n$
Il dubbio che mi viene è che il docente a lezione ha detto che era interessante vedere i limiti quando $lim_(n -> 0)(p)$ e $lim_(n -> oo )(p)$
Nel mio caso verrebbe che
$lim_(n -> 0)(p)$$=oo$
$lim_(n -> oo )(p)$$=0$
Punto primo, non riesco a capire cosa ci sia di interessante in questi risultati
Punto secondo, per quale motivo quando il numero di prove $n$ tende ad infinito, la probabilità di ottenere "testa" tende a $0$? A rigor di logica, per $n$ che va all'infinito $p$ dovrebbe tendere a $0,5$ no?
Secondo me c'è qualcosa che non va...
Grazie a tutti quanti per l'aiuto!
Sto avendo un po' di problemi a risolvere un esercizio, volevo avere un parere da voi su questa soluzione.
(Scusate ma sto traducendo un testo dal portoghese, spero che il problema sia comprensibile)
Problema: Sviluppare la funzione di verosimiglianza per un test corrispondente a n sorteggi indipendenti di una moneta, essendo la probabilità dell'evento "testa" uguale a $p$ e quella dell'evento "croce" $1-p$
1) Sviluppare una formula per lo stimatore di massima verosimiglianza di $p$
Risoluzione
Chiamo $p(x)=p^x*(1-p)^(1-x)$
Se $x=1$ ottengo "testa", se $x=0$ ottengo "croce"
Ora dico che su un numero di sorteggi $n$, ottengo $m$ volte "testa" e $n-m$ volte "croce"
L'idea di base è quella di fare questa trasformazione, che spero non sia un orrore matematico:
$prod_(i = 1)^(n)$$p^(x_i)*(1-p)^(1-x_i)$$=$$prod_(i = 1)^(m)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$p^(x_i)*(1-p)^(1-x_i)$
Ponendo una volta $x=0$ ed una volta $x=1$ (rispettivamente quando si verifica l'evento "testa" o l'evento "croce") ottengo questo:
$prod_(i = 1)^(m)$$p^(1)*(1-p)^(1-1)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$p^(0)*(1-p)^(1-0)$
Che diventa
$prod_(i = 1)^(m)$$p^(1)$$prod_(i = 1)^(n-m)$$(1-p)^(1)$
Quindi
$p(x)=p^m*(1-p)^(n-m)$
Questa la considero funzione di verosimiglianza $L(p)=p^m*(1-p)^(n-m)$
Per fare la massima verosimiglianza $delL(p)$$/$$del$$p$$=0$
Vi risparmio i dettagli matematici della derivata, il risultato finale a cui arrivo è che
$p=m/n$
Il dubbio che mi viene è che il docente a lezione ha detto che era interessante vedere i limiti quando $lim_(n -> 0)(p)$ e $lim_(n -> oo )(p)$
Nel mio caso verrebbe che
$lim_(n -> 0)(p)$$=oo$
$lim_(n -> oo )(p)$$=0$
Punto primo, non riesco a capire cosa ci sia di interessante in questi risultati
Punto secondo, per quale motivo quando il numero di prove $n$ tende ad infinito, la probabilità di ottenere "testa" tende a $0$? A rigor di logica, per $n$ che va all'infinito $p$ dovrebbe tendere a $0,5$ no?
Secondo me c'è qualcosa che non va...
Grazie a tutti quanti per l'aiuto!
Risposte
Si c'è qualcosa che non va.
Innanzitutto per come sviluppi la produttoria, perchè ne aggiungi un'altra complicandoti la vita?
Comunqui arrivi a $p=m/n$; ora cosa è m?
Se ti rifai i conti m risulta uguale a $ sum_{k=1}^n X_k$ dove le $X_k$ sono le v.a. di successo/insuccesso in ogni lancio.
Questa dipende da n e dunque quando fai il limite non rimane costante. Il risuktano per n che tende ad infinito è dato dalla legge forte dei grandi numeri che ti dice che quella tende a p.
Innanzitutto per come sviluppi la produttoria, perchè ne aggiungi un'altra complicandoti la vita?
Comunqui arrivi a $p=m/n$; ora cosa è m?
Se ti rifai i conti m risulta uguale a $ sum_{k=1}^n X_k$ dove le $X_k$ sono le v.a. di successo/insuccesso in ogni lancio.
Questa dipende da n e dunque quando fai il limite non rimane costante. Il risuktano per n che tende ad infinito è dato dalla legge forte dei grandi numeri che ti dice che quella tende a p.
"DajeForte":
Si c'è qualcosa che non va.
Innanzitutto per come sviluppi la produttoria, perchè ne aggiungi un'altra complicandoti la vita?
Comunqui arrivi a $p=m/n$; ora cosa è m?
Se ti rifai i conti m risulta uguale a $ sum_{k=1}^n X_k$ dove le $X_k$ sono le v.a. di successo/insuccesso in ogni lancio.
Questa dipende da n e dunque quando fai il limite non rimane costante. Il risuktano per n che tende ad infinito è dato dalla legge forte dei grandi numeri che ti dice che quella tende a p.
Prima di tutto grazie per la risposta!
Seconda cosa, non essendo proprio una cima in probabilità e statistica (purtroppo mi hanno appioppato questo corso da seguire, e lo dovrò seguire) sono andato a guardarmi la legge forte dei grandi numeri.
Se ho capito bene, io posso affermare per un numero sufficientemente alto di lanci che $p$ di ottenere testà sarà $0,5$ (o meglio, vicina a $0,5$) ammesso che la moneta non sia truccata.
Sempre se ho capito, non è possibile trovare la dipendenza diretta di $m$ da $n$ e di conseguenza non è possibile calcolare quel limite.
Ma se questo non è possibile, allora che cosa vuole significare la domanda del professore? Cosa c'è di interessante nei due limiti per $n$ che tende a infinito e per $n$ che tende a zero?
n , numero naturale, man mano che diventa piccolo rende la massima verosimiglianza sempre meno utilizzabile; quando diventa=1 (di meno non può essere!) fa dire alla massima verosimiglianza che la moneta è truccata! In quanto esce "sempre" testa!
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