Metodo della massima verosomiglianza
Sia (X1,.....,Xn) un campione casuale estratto da una popolazione caratterizzata dalla funzione di densità di probabilità:
f(x)= (a + 1 ) x^a per 0<=x<=1 e a>0
0 altrove (dove a sta per alpha)
usando il metodo della massima verosimiglianza, determinare:
a) lo stimatore del paramentro a
b) lo stimatore della mediana della variabile X
(suggerimento per il punto b utilizzare la proprietà della invarianza)
Ho risolto il primo punto ( prendendo spunto dai consigli dei precedenti post) e mi risulta che a = -1- n/ lnEx dove E sta per sommatoria.
Per quanto riguarda invece il punto b) non riesco a capire i passaggi che devo fare e che cosè la proprietà della invarianza.
qualcuno può aiutarmi ??????
f(x)= (a + 1 ) x^a per 0<=x<=1 e a>0
0 altrove (dove a sta per alpha)
usando il metodo della massima verosimiglianza, determinare:
a) lo stimatore del paramentro a
b) lo stimatore della mediana della variabile X
(suggerimento per il punto b utilizzare la proprietà della invarianza)
Ho risolto il primo punto ( prendendo spunto dai consigli dei precedenti post) e mi risulta che a = -1- n/ lnEx dove E sta per sommatoria.
Per quanto riguarda invece il punto b) non riesco a capire i passaggi che devo fare e che cosè la proprietà della invarianza.
qualcuno può aiutarmi ??????
Risposte
Ciao, io l'avrei risolto così...
Quando ti chiedono la mediana significa che la funzione di ripartizione vale 0.5.
Pertanto ti trovi la funzione di ripartizione così
\( F(t) = \int_0^t (\alpha + 1)x^{\alpha}\ \text{d} x =\ x^{\alpha+1}|_0^t = t^{\alpha+1} - 0^{\alpha + 1} = t^{\alpha + 1}\)
Ora la eguagli a 0.5:
\(F(t) = 0.5 \rightarrow t^{\alpha+1} = 0.5 \rightarrow t=0.5^{\frac{1}{\alpha+1}}\)
Ma siccome \(\alpha\) non lo conosci uni una sua stima pertanto :
\( t=0.5^{\frac{1}{\hat{\alpha}+1}}\)
Se non riesci a vedere l'\(\alpha\) nell'ultima espressione è scritto così \(\hat{\alpha}\) perchè ho usato una sua stima.
Questo procedimento, secondo me, utilizza l'invarianza perché stai stimando la funzione di ripartizione che sia uguale a 0.5 però ti serve un parametro da stimare. E siccome stai usando la stima di massima verosimiglianza per \(\alpha\) è consistente anche la stima della funzione di ripartizione...
Spero di esser stato d'aiuto...se ho scritto qualche eresia ditemelo
Ciao ciao...
Quando ti chiedono la mediana significa che la funzione di ripartizione vale 0.5.
Pertanto ti trovi la funzione di ripartizione così
\( F(t) = \int_0^t (\alpha + 1)x^{\alpha}\ \text{d} x =\ x^{\alpha+1}|_0^t = t^{\alpha+1} - 0^{\alpha + 1} = t^{\alpha + 1}\)
Ora la eguagli a 0.5:
\(F(t) = 0.5 \rightarrow t^{\alpha+1} = 0.5 \rightarrow t=0.5^{\frac{1}{\alpha+1}}\)
Ma siccome \(\alpha\) non lo conosci uni una sua stima pertanto :
\( t=0.5^{\frac{1}{\hat{\alpha}+1}}\)
Se non riesci a vedere l'\(\alpha\) nell'ultima espressione è scritto così \(\hat{\alpha}\) perchè ho usato una sua stima.
Questo procedimento, secondo me, utilizza l'invarianza perché stai stimando la funzione di ripartizione che sia uguale a 0.5 però ti serve un parametro da stimare. E siccome stai usando la stima di massima verosimiglianza per \(\alpha\) è consistente anche la stima della funzione di ripartizione...
Spero di esser stato d'aiuto...se ho scritto qualche eresia ditemelo
Ciao ciao...
Grazie mille ! Gentilissimo !
Prego
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