Metodo Dei Momenti per una stima
ciao ragazzo mi trovo ancora a dover postare... ho bisogno di un chiarimento...
utilizzando il metodo dei momenti per fare una stima spesso si arriva a questa espressione:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
dalla quale segue questa uguaglianza:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 $
qualcuno sa spiegarmi il perchè di questa uguaglianza ?
utilizzando il metodo dei momenti per fare una stima spesso si arriva a questa espressione:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
dalla quale segue questa uguaglianza:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 $
qualcuno sa spiegarmi il perchè di questa uguaglianza ?
Risposte
sarà un'equazione quella che hai scritto... La prima espressione a cosa è uguale?
l'uguaglianza che segue è immediata, la prima cosa che ho scritto risulta uguale alla seconda:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - X_n^2 = 1/n * sum_(i = 1)^(n)(X_i - X_n)^2 $
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - X_n^2 = 1/n * sum_(i = 1)^(n)(X_i - X_n)^2 $
"Clod":
l'uguaglianza che segue è immediata, la prima cosa che ho scritto risulta uguale alla seconda:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - X_n^2 = 1/n * sum_(i = 1)^(n)(X_i - X_n)^2 $
Ciao, ma non è che $X_n$ rappresenta la media degli $X_i$ ?
"cenzo":
[quote="Clod"]l'uguaglianza che segue è immediata, la prima cosa che ho scritto risulta uguale alla seconda:
$ 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - X_n^2 = 1/n * sum_(i = 1)^(n)(X_i - X_n)^2 $
Ciao, ma non è che $X_n$ rappresenta la media degli $X_i$ ?[/quote]
si si scusate non l'ho barrata! certo $X_n$ è la media campionaria !
"Clod":
si si scusate non l'ho barrata! certo $X_n$ è la media campionaria !
(sai, si poteva interpretare $X_n$ come l'n-esimo $X_i$)
OK, allora in questo caso l'uguaglianza è vera!
Prova a sviluppare il quadrato del secondo membro, poi applica la sommatoria a tutti e 3 i termini... e ricorda la definizione di media.
Se hai difficoltà, posta i passaggi
allora procedo come segue :
$ 1/n*sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 = 1/n* sum_(i = 1)^(n)(X_i^2 - 2X_i*X_n + X_n^2) = 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - 2/(n^2)sum_(i = 1)^(n)X_i^2 + 1/(n^2)*sum_(i = 1)^(n)X_i^2 = 1/n*sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
penso di aver fatto i passaggi giusti
il risultato mi torna 
grazie mille per la dritta!!
$ 1/n*sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 = 1/n* sum_(i = 1)^(n)(X_i^2 - 2X_i*X_n + X_n^2) = 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - 2/(n^2)sum_(i = 1)^(n)X_i^2 + 1/(n^2)*sum_(i = 1)^(n)X_i^2 = 1/n*sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
penso di aver fatto i passaggi giusti
il risultato mi torna grazie mille per la dritta!!
"Clod":
allora procedo come segue :
$ 1/n*sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 = 1/n* sum_(i = 1)^(n)(X_i^2 - 2X_i*X_n + X_n^2) = 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - 2/(n^2)sum_(i = 1)^(n)X_i^2 + 1/(n^2)*sum_(i = 1)^(n)X_i^2 = 1/n*sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
Il risultato è giusto, ma i passaggi non mi sembra..
Tieni presente che $\bar(X)$ è una costante che puoi portare fuori dalla sommatoria su $i$:
$1/n*\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar(X))^2=1/n*\sum_{i=1}^{n}(X_i^2 -2X_i* \bar(X)+\bar(X)^2)=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -(2*\bar(X))/n*\sum_{i=1}^{n}X_i+1/n*\sum_{i=1}^{n}\bar(X)^2=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -(2*\bar(X))/n*(n*\bar(X))+1/n*(n*\bar(X)^2)=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -\bar(X)^2$
Questa uguaglianza è quella che ti consente di calcolare la varianza come media degli scarti quadratici oppure come differenza tra la media dei quadrati e la media al quadrato.
"cenzo":
[quote="Clod"]allora procedo come segue :
$ 1/n*sum_(i = 1)^(n) (X_i - X_n)^2 = 1/n* sum_(i = 1)^(n)(X_i^2 - 2X_i*X_n + X_n^2) = 1/n * sum_(i = 1)^(n)X_i^2 - 2/(n^2)sum_(i = 1)^(n)X_i^2 + 1/(n^2)*sum_(i = 1)^(n)X_i^2 = 1/n*sum_(i = 1)^(n) X_i^2 - X_n^2 $
Il risultato è giusto, ma i passaggi non mi sembra..
Tieni presente che $\bar(X)$ è una costante che puoi portare fuori dalla sommatoria su $i$:
$1/n*\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar(X))^2=1/n*\sum_{i=1}^{n}(X_i^2 -2X_i* \bar(X)+\bar(X)^2)=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -(2*\bar(X))/n*\sum_{i=1}^{n}X_i+1/n*\sum_{i=1}^{n}\bar(X)^2=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -(2*\bar(X))/n*(n*\bar(X))+1/n*(n*\bar(X)^2)=1/n*\sum_{i=1}^{n}X_i^2 -\bar(X)^2$
Questa uguaglianza è quella che ti consente di calcolare la varianza come media degli scarti quadratici oppure come differenza tra la media dei quadrati e la media al quadrato.[/quote]
al mio secondo passaggio ho considerato: $X_n = X_i/n$ non penso di aver sbagliato :O comunque grazie mille ora ho un altro modo ancora che mi fa capire
"Clod":
al mio secondo passaggio ho considerato: $X_n = X_i/n$
Ma se con $X_n$ stiamo intendendo la media $\bar(X)$, allora è $\bar(X) =\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}$
"cenzo":
[quote="Clod"]al mio secondo passaggio ho considerato: $X_n = X_i/n$
Ma se con $X_n$ stiamo intendendo la media $\bar(X)$, allora è $\bar(X) =\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}$[/quote]
che figuraccia
si hai ragionissima =) grazie mille comunque della tua risposta
Prego, figurati.
Ciao
Ciao
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