Metodo dei momenti

[markowitz]

Credo sia vero ma non lo vedo scritto da nessuna parte quindi chiedo conferme:

in generale, lo stimatore dei momenti è consistente? quindi (in generale) converge a quello di max verosim. vero?

(magari una breve spiegazione o un riferimento sarebbero sarebbero l'ideale)

[frapippo1]

Lo stimatore del metodo dei momenti è consistente, se assumiamo che le osservazioni sono i.i.d.
Prendiamo per semplicità la distribuzione bernoulliana di parametro $p$. Allora lo stimatore del metodo dei momenti, $\hat p_M$, è dato dal momento primo campionario (media campionaria), cioè $\hat p_M=1/nsum_{i=1}^\nX_i$. Data l'assunzione di indipendenza e identica distribuzione delle osservazioni, per la legge forte dei grandi numeri $lim_(n->infty)\hat p_M=E[X_1]=p$.
Ciò vuol dire che lo stimatore del metodo dei momenti converge quasi certamente (e questo implica la convergenza in probabilità, cioè la consistenza) al parametro da stimare. Anche stimatore di max. verosimiglianza è consistente per il parametro da stimare: allora i due metodi di stima forniscono asintoticamente (cioè per $n->infty$) lo stesso risultato.
C'è, tuttavia, un teorema molto importante circa lo stimatore di max. veros. che asserisce che sotto certe condizioni di regolarità (sempre soddisfatte da tutte le distribuzioni comunemente studiate) lo stimatore di massima verosimiglianza è asintoticamente efficiente (e asintoticamente normalmente distribuito): questo vuol dire che non esistono stimatori con varianza asintotica minore a quella dello stimatore di max. veros.
Tornando al nostro esempio, lo stimatore di max verosim coincide con quello del metodo dei momenti, per cui, in tal caso, $\hatp_M$ è anche asintoticamente efficiente.