Metodo dei momenti

[fratoff91]

Salve a tutti,
io ho questo esercizio che non riesco a risolvere.
Ho una variabile che ha questa distribuzione:
$ (alpha omega^alpha )/(x^(alpha+1) $ per $ x>omega $ e
$ 0 $ altrimenti, dove $ omega $ e $ alpha $ sono costanti positive.

La domanda è per $ alpha >1 $ trovare uno stimatore con il metodo dei momenti per $ alpha $ .

[Lo_zio_Tom]

Calcoliamo la media della variabile $X$

$mu=int_(omega)^(+oo)(alpha omega^alpha)/(x^(alpha))dx=(alpha omega^alpha)/(1-alpha)[x^(1-alpha)]_(omega)^(+oo)$

$mu_(x)=(alpha omega)/(alpha-1)$

$alpha=mu/(mu-omega)$

e quindi

$hat(alpha)_(MM)=bar(x)/(bar(x)-omega)$

fine.


Ti ho svolto l'esercizio dato che sei appena iscritto...ma ricorda che il nostro regolamento prevede che tu inserisca una bozza di soluzione e non solo il quesito...

ciao

[fratoff91]

Ciao.
Scusami, ma oggi son stato tutto il giorno impegnato e solo ora posso rispondere. Sì non avevo letto il regolamento e anche di questo mi scuso.

Comunque io avevo provato a risolvere più o meno come hai fatto tu, solo usando la $ (alpha omega^alpha)/(x^(alpha + 1))$ e non riusciva.

L'integrazione tra $omega$ e $+oo$ risultava questa: $-(omega^alpha)/(x^alpha)$

Però tu hai usato l'esponente $alpha$ e non $alpha +1$ . Non ho capito perché.

[fratoff91]

Mi rispondo da solo. La formula per trovare la media è:

$mu=int x f(x) dx$ mentre io ho integrato solo la $f(x)$.

Che errore banale, scusatemi.

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[Lo_zio_Tom]

Un appunto prima di proseguire:

"fratoff91":

L'integrazione tra $omega$ e $+oo$ risultava questa: $-(omega^alpha)/(x^alpha)$.

No! l'integrazione ti sarebbe dovuta risultare 1. quella che hai scritto non è l'integrazione fra $omega$ e $+oo$ ma è solo una delle primitive dell'integrale.

ora possiamo anche andare avanti con l'esercizio

Poniamo $omega=1$ e quindi la densità diventa

$f(x,alpha)=alpha/x^(alpha+1)I_((1;+oo))(x)$

esatraendo un campione casuale $X_(1)...X_(n)$ sapresti trovare uno stimatore UMVUE per $alpha$?

per chi fosse interessato alla soluzione:

riscriviamo la densità nel seguente modo:

$f(x,alpha)=alpha/(x^(alpha+1))=EXP[logalpha-logx-alphalogx]$

e quindi la distribuzione in oggetto appartiene alla famiglia esponenziale. Dalla fattorizzazione vediamo che $T=sum_(i)logx_(i)$ è lo stimatore sufficiente e, dato che la variabile appartiene alla famiglia esponenziale, anche completo.

Per cercare lo stimatore UMVUE utilizziamo il lemma di Lehmann Scheffé, secondo cui lo stimatore UMVUE è uno stimatore non distorto funzione dello stimatore sufficiente e completo.

Cerchiamo allora uno stimatore non distorto per $alpha$

partiamo da $T=sum_(i)logx_(i)$

per calcolare la media di tale stimatore ci serve la sua distribuzione.

Osserviamo innanzitutto che $Y=logX rarr X=e^Y$ ha come densità

$f_(Y)(y)=alpha/e^(alphay+y)e^y=alphae^(-alphay) rarr$ esponenziale di parametro $alpha$

e di conseguenza, $sum_(i)logx_(i)$ si distribuisce come una Gamma, $G(n,alpha)$

In definitiva la media cercata è $E(sum_(i)logx_(i))=n/alpha$

siccome non ci piace molto allora cambiamo stimatore utlizzando

$T=1/(sum_(i)logx_(i))$ ed osserviamo che, dato che $sum_(i)logx_(i)~ G(n,alpha)$ allora $1/(sum_(i)logx_(i))$ si distribuisce come una Gamma Inversa.

In sostanza la media cercata $E[1/(sum_(i)logx_(i))]=alpha/(n-1)$

che è distorto ma con una distorsione eliminabile...

abbiamo dunque terminato concludendo che

$hat(T)=(n-1)/(sum_(i)logX_(i))$ è uno stimatore non distorto per $alpha$, funzione di uno stimatore sufficiente e completo...quindi UMVUE

[fratoff91]

"tommik"::smt023

Un appunto prima di proseguire:

[quote="fratoff91"]

L'integrazione tra $omega$ e $+oo$ risultava questa: $-(omega^alpha)/(x^alpha)$.

No! l'integrazione ti sarebbe dovuta risultare 1. quella che hai scritto non è l'integrazione fra $omega$ e $+oo$ ma è solo una delle primitive dell'integrale.