Mediana di variabile aleatoria continua!
Salve a tutti.
Ho un altro esercizio che non riesco a completare.
Mi viene data questa distribuzione:
\( \begin{cases} \ \frac {\alpha x} {3}, \text { se } 0\leq x<1\\ \frac {\alpha} {4}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 0, \text { altrimenti } \end{cases} \).
La prima domanda era trovare \( \alpha \) perchè tale distribuzione sia una funzione di densità e si impone: \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(X)\, dx =1 \). E alla fine viene \( \alpha = \frac {12} {5} \).
Riassumendo ho che:
\( f(x)=\begin{cases} \frac {4x} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 0, \text {altrimenti} \end{cases} \)
e:
\( F(x)=\begin{cases} 0, \text { per } x<0 \\ \frac {2x^2} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3x} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 1, \text { per } x>2 \end{cases} \) .
Ora la domanda è di trovare media, varianza e mediana.
La media la trovo con \( \mu =\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\, dx =\int_{0}^{1} \frac {4x^2} {5}\, dx + \int_{1}^{2} \frac {3x} {5}\, dx = \frac {7} {6} \) .
La varianza è simile e l'ho trovata facendo: \( Var[X]=\int_{0}^{1} \frac {4x^3} {5}\, dx + \int_{1}^{2} \frac {3x^2} {5}\, dx - \mu ^2=0.2388\approx 0.24 \).
Il problema ora è trovare la mediana. Idealmmente dovrei applicare questa formula: \( X_{0.5} :F(X_{0.5})=0.5 \) e qui casca un po' l'asino. in qualunque modo la applico non viene il risultato che dovrebbe venire, cioè \(\frac {7} {6}\) .
Ora penso che l'errore sia nella funzione di ripartizione \( F(X) \) , in cui manca di calcolare le costanti integrazione, può essere?
Se fosse come penso, la soluzione potrebbe continuare così:
\( F(x)=\begin{cases} 0, \text { per } x<0 \\ \frac {2x^2} {5} + \frac {3} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3x} {5} + \frac {2} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 1, \text { per } x>2 \end{cases} \)
ponendo \( \int \frac {4x} {5}\, dx = \frac {2x^2} {5}+c=1 \) e \( \int \frac {3} {5}\, dx = \frac {3x} {5}+c=1 \) .
Ma non ho capito bene il perchè e soprattutto come dopo posso trovarmi la mediana.
Ho un altro esercizio che non riesco a completare.
Mi viene data questa distribuzione:
\( \begin{cases} \ \frac {\alpha x} {3}, \text { se } 0\leq x<1\\ \frac {\alpha} {4}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 0, \text { altrimenti } \end{cases} \).
La prima domanda era trovare \( \alpha \) perchè tale distribuzione sia una funzione di densità e si impone: \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(X)\, dx =1 \). E alla fine viene \( \alpha = \frac {12} {5} \).
Riassumendo ho che:
\( f(x)=\begin{cases} \frac {4x} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 0, \text {altrimenti} \end{cases} \)
e:
\( F(x)=\begin{cases} 0, \text { per } x<0 \\ \frac {2x^2} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3x} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 1, \text { per } x>2 \end{cases} \) .
Ora la domanda è di trovare media, varianza e mediana.
La media la trovo con \( \mu =\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)\, dx =\int_{0}^{1} \frac {4x^2} {5}\, dx + \int_{1}^{2} \frac {3x} {5}\, dx = \frac {7} {6} \) .
La varianza è simile e l'ho trovata facendo: \( Var[X]=\int_{0}^{1} \frac {4x^3} {5}\, dx + \int_{1}^{2} \frac {3x^2} {5}\, dx - \mu ^2=0.2388\approx 0.24 \).
Il problema ora è trovare la mediana. Idealmmente dovrei applicare questa formula: \( X_{0.5} :F(X_{0.5})=0.5 \) e qui casca un po' l'asino. in qualunque modo la applico non viene il risultato che dovrebbe venire, cioè \(\frac {7} {6}\) .
Ora penso che l'errore sia nella funzione di ripartizione \( F(X) \) , in cui manca di calcolare le costanti integrazione, può essere?
Se fosse come penso, la soluzione potrebbe continuare così:
\( F(x)=\begin{cases} 0, \text { per } x<0 \\ \frac {2x^2} {5} + \frac {3} {5}, \text { se } 0\leq x<1 \\ \frac {3x} {5} + \frac {2} {5}, \text { se } 1\leq x \leq 2 \\ 1, \text { per } x>2 \end{cases} \)
ponendo \( \int \frac {4x} {5}\, dx = \frac {2x^2} {5}+c=1 \) e \( \int \frac {3} {5}\, dx = \frac {3x} {5}+c=1 \) .
Ma non ho capito bene il perchè e soprattutto come dopo posso trovarmi la mediana.
Risposte
Hai sbagliato la $ F_(X)(x) $
Nell'intervallo $1 <=x <2$ viene
$2/5+3/5(x-1)=3/5x-1/5$
A questo punto per calcolare la mediana basta fare:.
$3/5x-1/5=1/2 rarr x_(me)=7/6$
Per trovare la $ F $ in un certo intervallo devi anche sommare il valore cumulato dell'intervallo precedente. ..mi sembra banale...
Nell'intervallo $0 <=x <1$ è corretto $ F=2/5x^2$
Nell'intervallo $1 <=x <2$ viene
$2/5+3/5(x-1)=3/5x-1/5$
A questo punto per calcolare la mediana basta fare:.
$3/5x-1/5=1/2 rarr x_(me)=7/6$
Per trovare la $ F $ in un certo intervallo devi anche sommare il valore cumulato dell'intervallo precedente. ..mi sembra banale...
Nell'intervallo $0 <=x <1$ è corretto $ F=2/5x^2$
"tommik":
Hai sbagliato la $ F_(X)(x) $
Nell'intervallo $1 <=x <2$ viene
$2/5+3/5(x-1)=3/5x-1/5$
A questo punto per calcolare la mediana basta fare:.
$3/5x-1/5=1/2 rarr x_(me)=7/6$
Per trovare la $ F $ in un certo intervallo devi anche sommare il valore cumulato dell'intervallo precedente. ..mi sembra banale...
Nell'intervallo $0 <=x <1$ è corretto $ F=2/5x^2$
Ok, ho capito l'errore e in effetti era banale. Però ho un altro dubbio e forse è banale anche questo. Se la mediana era minore di 1 oppure di trovare il primo quartile, avrei dovuto applicare $ 2/5x_(me)^2=1/4 $ ?
"fratoff91":
oppure di trovare il primo quartile, avrei dovuto applicare $ 2/5x^2=1/4 $ ?
YESSSS
ovviamente se la mediana fosse stata minore di uno avresti dovuo equagliare sempre a $1/2$.....
mi piacerebbe sapere che studi fai, non per curiosità personale ma per capire il taglio delle risposte
"tommik":
YESSSS
ovviamente se la mediana fosse stata minore di uno avresti dovuo equagliare sempre a $1/2$.....
ma quindi come si procede per vedere su quale "parte" cade? Ad occhio anche il primo quartile dovrebbe trovarsi con $ 3/5x-1/5=1/4 $ ma era per capire.
"tommik":
mi piacerebbe sapere che studi fai, non per curiosità personale ma per capire il taglio delle risposte
Sto facendo ingegneria per l'ambiente ed il territorio in cui analisi dei dati è un esame da 6 crediti. Un esame un po' snobbato in effetti e purtroppo...
"fratoff91":
ma quindi come si procede per vedere su quale "parte" cade? Ad occhio anche il primo quartile dovrebbe trovarsi con $ 3/5x-1/5=1/4 $ ma era per capire.
lo capisci guardando la $F_(x)$ e vedi in che intervallo cade il quartile di interesse.
nel tuo caso, dato che in 1 la F=0,4 è ovvio che la mediana è nell'altro.
"tommik":
[quote="fratoff91"]
ma quindi come si procede per vedere su quale "parte" cade? Ad occhio anche il primo quartile dovrebbe trovarsi con $ 3/5x-1/5=1/4 $ ma era per capire.
lo capisci guardando la $F_(x)$ e vedi in che intervallo cade il quartile di interesse.
nel tuo caso, dato che in 1 la F=0,4 è ovvio che la mediana è nell'altro.[/quote]
Grazie mille!
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