Media e Varianza nel caso di variabile aleatoria discreta
Ciao a tutti!
Ho un altro dubbio. Ma la media per una variabile aleatoria discreta di può calcolare sia mendiate la funzione di densità di probabilità (intendo la derivata della funzione di distribuzione cumulativa) che con la funzione di masse di probabilità?
Ossia si può scrivere per la media sia mediante la funzione di masse di probabilità:
$u_X=\sum_{i=1}^\n\(x_i)*p_X(x_i)$
sia mediante la funzione densità di probabilità,
$u_X=\sum_{i=1}^\n\(x_i)*f_X(x_i)$
se si per quale motivo?
La funzione di densità di probabilità non è relativa alla variabili aleatorie continue, e la funzione massa di probabilità per le v.a. discrete?
Stessa cosa per la varianza ?
$sigma(x)^2=\sum_{i=1}^\n\(x_i-u)^2 * p(x_i)$
$sigma(x)^2=\sum_{i=1}^\n\(x_i-u)^2 * f(x_i)$
GRAZIE!
Ho un altro dubbio. Ma la media per una variabile aleatoria discreta di può calcolare sia mendiate la funzione di densità di probabilità (intendo la derivata della funzione di distribuzione cumulativa) che con la funzione di masse di probabilità?
Ossia si può scrivere per la media sia mediante la funzione di masse di probabilità:
$u_X=\sum_{i=1}^\n\(x_i)*p_X(x_i)$
sia mediante la funzione densità di probabilità,
$u_X=\sum_{i=1}^\n\(x_i)*f_X(x_i)$
se si per quale motivo?
La funzione di densità di probabilità non è relativa alla variabili aleatorie continue, e la funzione massa di probabilità per le v.a. discrete?
Stessa cosa per la varianza ?
$sigma(x)^2=\sum_{i=1}^\n\(x_i-u)^2 * p(x_i)$
$sigma(x)^2=\sum_{i=1}^\n\(x_i-u)^2 * f(x_i)$
GRAZIE!
Risposte
Io non ho mai visto l'utilizzo della sommatoria delle funzioni nel caso continuo, proprio perché la f. non è discreta: la distribuzione è quindi un integrale. Perché complicarsi la vita?
Ma magari uso un libro troppo vecchio.
Ma magari uso un libro troppo vecchio.
"Rggb":
Io non ho mai visto l'utilizzo della sommatoria delle funzioni nel caso continuo, proprio perché la f. non è discreta: la distribuzione è quindi un integrale. Perché complicarsi la vita?
Ma magari uso un libro troppo vecchio.
Allora mi spiego meglio, giusto per conferma, la media si può calcolare così:
$u_X=\sum_{i=1}^\n\x_i*p(x_i)$ se $X$ è una variabile aleatoria discreta e $p(x)$ funzione di masse di probabilità
$u_X = \int_-oo^(+oo) x*f(x)dx$ se $X$ è una variabile aleatoria continua e $f(x)$ è una funzione di densità di probabilità
E questo quello che riporta il mio libro, ma esiste un altro libro dove nel caso discreto scrive
$u_X=\sum_{i=1}^\n\x_i*f(x_i)$
e quindi forse penso abbia sbagliato, però volevo la sicurezza che quella $f(x_i)$ non intenda una funzione di densità di probabilità, ma funzione di masse di probabilità. Grazie.
se ci rifletti nel caso delle probabilità discrete è la stessa cosa.
Usa ad esempio la distribuzione di Poisson: $X$ è una variabile aleatoria con valori in $NN_{>=0}$
sai che
$P(X=k)= e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ per qualche $\lambda >0$ fissato.
Dunque, dal momento che ogni insieme $A$ si potrà scrivere come $A=\{k_i\}_{i\in I}$ la probabilità che $P(X\in A)=\sum P(X=k_i)=\sum e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k_i}}{k_i!}$
e quindi, in questo caso, $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ gioca esattamente il ruolo della densità di probabilità, ma come vedi questo formalismo nel caso discreto è "quasi" sovrabbondante
se vuoi vederla in modo "osceno" puoi sempre usare gli integrali (e quindi un formalismo continuo):
$P(X\in A)=\int_A dP=\int_{RR} \sum \delta (x-k_i) e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k_i}}{k_i!} dx$
e vedi che le cose sono equivalenti, ma sinceramente non mi garba molto, questione di gusti
...
Usa ad esempio la distribuzione di Poisson: $X$ è una variabile aleatoria con valori in $NN_{>=0}$
sai che
$P(X=k)= e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ per qualche $\lambda >0$ fissato.
Dunque, dal momento che ogni insieme $A$ si potrà scrivere come $A=\{k_i\}_{i\in I}$ la probabilità che $P(X\in A)=\sum P(X=k_i)=\sum e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k_i}}{k_i!}$
e quindi, in questo caso, $e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ gioca esattamente il ruolo della densità di probabilità, ma come vedi questo formalismo nel caso discreto è "quasi" sovrabbondante
se vuoi vederla in modo "osceno" puoi sempre usare gli integrali (e quindi un formalismo continuo):
$P(X\in A)=\int_A dP=\int_{RR} \sum \delta (x-k_i) e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k_i}}{k_i!} dx$
e vedi che le cose sono equivalenti, ma sinceramente non mi garba molto, questione di gusti
...
Sto andando un po' in confusione. Perché mi state dicendo, in pratica, che posso usare per il calcolo della media nel caso discreto sia la sommatoria che l'integrale. Ma posso usare nel caso discreto lasciando inalterata la sommatoria sia la funzione massa di probabilità che la funzione densità di probabilità?
lascia perdere l'integrale (era solo un modo per farti vedere come uno può usare un solo formalismo e ottenere tutto, anche se non è proprio bello...)
nel caso discreto il succo della cosa è che $p_x=P(X=x)=f(x)$ come puoi osservare nell'esempio che ti ho scritto prima.
nel caso discreto il succo della cosa è che $p_x=P(X=x)=f(x)$ come puoi osservare nell'esempio che ti ho scritto prima.
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