Media e Varianza
Ciao, stavo facendo questo esercizio:
data la funzione di probabilità $f(y)=k/y^3 e^{-5/y}1_{RR^+}(y)$, calcolare il valore di $k$,$E(Y)$,$Var(Y)$.
Ho risolto in questo modo:
(1) per trovare k impongo la condizione che in quanto funzione di probabilità $\int_{RR^+} f(y) =1$ e trovo $k=25$
(2) mi calcolo $E(Y)=\int_0^{+oo} yf(y) dy$ e trovo $E(Y)=5$
(3) calcolo $E(Y^2)=\int_0^{+oo} y^2 f(y) dy$ ma qui mi viene fuori $25 \int_0^{+oo} e^{-5/y}/y dy$ ed ho pensato di risolverlo attraverso la funzione euleriana di seconda specie ma non riesco a cavarne piede.
Suggerimenti?
data la funzione di probabilità $f(y)=k/y^3 e^{-5/y}1_{RR^+}(y)$, calcolare il valore di $k$,$E(Y)$,$Var(Y)$.
Ho risolto in questo modo:
(1) per trovare k impongo la condizione che in quanto funzione di probabilità $\int_{RR^+} f(y) =1$ e trovo $k=25$
(2) mi calcolo $E(Y)=\int_0^{+oo} yf(y) dy$ e trovo $E(Y)=5$
(3) calcolo $E(Y^2)=\int_0^{+oo} y^2 f(y) dy$ ma qui mi viene fuori $25 \int_0^{+oo} e^{-5/y}/y dy$ ed ho pensato di risolverlo attraverso la funzione euleriana di seconda specie ma non riesco a cavarne piede.
Suggerimenti?
Risposte
Così ad occhio di direi di fare una sostituzione t=1/y.
con quella sostituzione non risolvo perchè avrei se non sbaglio:
$25 \int_0^{+oo} -e^(-5t)/t dt$ quindi sono punto e a capo.
$25 \int_0^{+oo} -e^(-5t)/t dt$ quindi sono punto e a capo.
Hai ragione, ora ci penso. Ma gli altri due integrali come li hai risolti. Mi sta venendo qualche dubbio sulla densità.
Ricontrolla tutto, comunque quell'integrale diverge a + infinito.
allora gli altri due integrali li ho risolti così:
$k \int_0^{+oo} e^(-5/y)(1/y^3)dy=k/5 \int_0^{+oo} (1/y)(5/y^2)e^(-5/y) dy$ per parti e poi alla fine viene $k/25=1$
mentre il secondo
$25 \int_0^{+oo} ye^(-5/y)(1/y^3)dy=25 \int_0^{+oo} (1/y^2)e^(-5/y) dy=5$
$k \int_0^{+oo} e^(-5/y)(1/y^3)dy=k/5 \int_0^{+oo} (1/y)(5/y^2)e^(-5/y) dy$ per parti e poi alla fine viene $k/25=1$
mentre il secondo
$25 \int_0^{+oo} ye^(-5/y)(1/y^3)dy=25 \int_0^{+oo} (1/y^2)e^(-5/y) dy=5$
Vedo, ed anche qua li ho fatti ad occhio e mi paiono corretti.
Però ti ripeto quell'altro integrale diverge, infatti quando y è grande $e^{-5/y}$ si avvicina ad 1 e però $1/y$ ha integrale divergente.
Però ti ripeto quell'altro integrale diverge, infatti quando y è grande $e^{-5/y}$ si avvicina ad 1 e però $1/y$ ha integrale divergente.
Si anche tu hai ragione a dire che diverge. Quindi come concludo per la varianza?
Non è definita.
EDIT: qualcuno dice che infinita perchè il valore atteso esiste finito e dunque ha un senso l'espressione $E[(X-E[X])^2]$ che assume valore infinito, questione di notazione e di linguaggio.
EDIT: qualcuno dice che infinita perchè il valore atteso esiste finito e dunque ha un senso l'espressione $E[(X-E[X])^2]$ che assume valore infinito, questione di notazione e di linguaggio.
però ci riflettevo un po' su e ti vorrei chiedere una cosa: il fatto che l'esponenziale sia più veloce di $y$ andando all'infinito non influisce minimamente?
Hai compreso perchè l'integrale diverge?
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