Media di una distribuzione Gamma

[bellrodo]

Sia $X~\Gamma (7/2,3)$. Calcolare la media di $Y=X^-2$

Io ho risolto così:

$E(1/X^2)=\int_0^oo 1/x^2 * (\lambda^(\alpha) x^(\alpha-1) e^(-\lambda x))/(\Gamma(\alpha)) = ... = (\Gamma(\alpha-2)\lambda^2)/(\Gamma(\alpha))$

Arrivato a questo punto, ho impostato $\alpha=n+1/2$ dove $n=3$, quindi:

$(\Gamma(\n+1/2-2)\lambda^2)/(\Gamma(n+1/2))=((2n-5)!! * sqrt\pi)/(2^{n-2}) * (2^n)/((2n-1)!! * sqrt\pi) * \lambda^2=4/15*9=12/5$

Mentre l'esercizio viene svolto in questo modo:

$E(1/X^2)=\int_0^oo 1/x^2 * (\lambda^(\alpha) x^(\alpha-1) e^(-\lambda x))/(\Gamma(\alpha)) = ... = (\alpha-1)(\alpha-2)\lambda^2=15/4*9=135/4$

Non riesco proprio a capire dove ho sbagliato...
Pensavo avessi fatto qualche errore di distrazione visto che a me esce $4/15*9$ e sulle dispense $15/4*9$.
Ci ho passato tutto il pomeriggio sopra e non sono riuscito a trovare l'errore .
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

Non hai trovato l'errore perché l'errore non c'è. Hai fatto bene tu. Solo che senza fare tanti conti ma usando la regola ricorsiva $Gamma(n)=(n-1)Gamma(n-1)$ ottieni subito

$(Gamma(a-2))/(Gamma(a)) lambda ^2=(Gamma(a-2))/((a-1)(a-2)Gamma (a-2))lambda^2=lambda^2/((a-1)(a-2))$

E non $(a-1)(a-2)lambda ^2$ come scritto sulle dispense...fallo presente

[Lo_zio_Tom]

La correttezza di quanto hai fatto lo puoi anche verificare per un'altra via.

Basta osservare che $Y=1/X$ si distribuisce come una Gamma inversa. I parametri della gamma inversa (che puoi trovare anche su Wikipedia) sono

$mu=lambda/(a-1)$

$sigma^2=lambda^2/((a-1)^2(a-2))$

Ed il valore atteso richiesto è il momento secondo di $Y$ che è calcolabile così

$E(Y^2)=sigma^2+mu^2=...=lambda^2/((a-1)(a-2))$

Cvd

[bellrodo]

Grazieee