Media dell esponenziale di una Normale standard
Buongiorno a tutti 
come dal titolo il quesito è il seguente
Calcolare la media di $e^X$ dove $X=N(0,1)$
Ho provato a svolgere nel seguente modo ma sembra sia andato a sbattere contro un muro.
Ricordando la densita normale standard che la $f(x)= 1/sqrt(2pi)e^((x^2)/2)$ ho posto $Y=e^X$
Cosi $F_Y(y)=P(Y<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(y))$ e facendo la derivata ho $f(y)=fx(ln(y))1/y$
Sostituendo
$ f(y)= 1/sqrt(2pi)e^((ln(y)^2)/2)1/y $
$f(y)= \int_{-infty}^{infty}y f(y) dy$ cosi ricordando dalla formula generale della speranza ho
$\int_{-infty}^{infty}y f(y) dy$ in definitiva
$\int_{-infty}^{infty} 1/sqrt(2pi)e^((ln(y)^2)/2)dy$
e qui prendo il muro
non riesco ad andare avanti l integrale non converge(penso)
grazie a tutti
come dal titolo il quesito è il seguente
Calcolare la media di $e^X$ dove $X=N(0,1)$
Ho provato a svolgere nel seguente modo ma sembra sia andato a sbattere contro un muro.
Ricordando la densita normale standard che la $f(x)= 1/sqrt(2pi)e^((x^2)/2)$ ho posto $Y=e^X$
Cosi $F_Y(y)=P(Y<=y)=P(e^X<=y)=P(X<=ln(y))$ e facendo la derivata ho $f(y)=fx(ln(y))1/y$
Sostituendo
$ f(y)= 1/sqrt(2pi)e^((ln(y)^2)/2)1/y $
$f(y)= \int_{-infty}^{infty}y f(y) dy$ cosi ricordando dalla formula generale della speranza ho
$\int_{-infty}^{infty}y f(y) dy$ in definitiva
$\int_{-infty}^{infty} 1/sqrt(2pi)e^((ln(y)^2)/2)dy$
e qui prendo il muro
non riesco ad andare avanti l integrale non converge(penso)
grazie a tutti
Risposte
Nota che la funzione generatrice dei momenti di una gaussiana standard è
$M_X(t)=E(e^(Xt))=e^(t^2/2)$
A te viene chiesto di calcolare
$M_X(1)=e^(1/2)$
Fine
Se proprio vuoi risolvere analiticamente quell'integrale basta completare il quadrato che troverai all'esponente.
Ricorda che $e^X$ è una distribuzione nota: una lognormale. L'integrale in oggetto l'ho già postato sul forum, basta cercare
$M_X(t)=E(e^(Xt))=e^(t^2/2)$
A te viene chiesto di calcolare
$M_X(1)=e^(1/2)$
Fine
Se proprio vuoi risolvere analiticamente quell'integrale basta completare il quadrato che troverai all'esponente.
Ricorda che $e^X$ è una distribuzione nota: una lognormale. L'integrale in oggetto l'ho già postato sul forum, basta cercare
In primis grazie 
ma ho delle domande
Non mi pare di averla studiata nel mio corso come distribuzione nota (ma buono a sapersi vado a cercarla)
Perchè devo calcolarlo in 1?
Penso che il problema principale(non avendo pensato alla fgm perchè ho il brutto vizio di utilizzarlo su distribuzioni singole e non "composte" come in questo caso<>) è proprio quello..non saperlo risolvere analiticamente 
ma ho delle domande "tommik":
Ricorda che $e^X$ è una distribuzione nota: una lognormale. L'integrale in oggetto l'ho già postato sul forum, basta cercare
Non mi pare di averla studiata nel mio corso come distribuzione nota (ma buono a sapersi vado a cercarla)
"tommik":
$MX(t)=E(e^Xt)=et^2/2$
A te viene chiesto di calcolare
$MX(1)=e^(1/2)$
Perchè devo calcolarlo in 1?
Penso che il problema principale(non avendo pensato alla fgm perchè ho il brutto vizio di utilizzarlo su distribuzioni singole e non "composte" come in questo caso<
Scusa eh... ti chiedono di calcolare $E(e^X)$ sapendo che $E(e^(Xt))=e^(t^2/2)$
Cosa potrà mai essere il risultato?
Se invece non ti piace come metodo allora calcoli l'integrale analiticamente
$int_(-oo)^(oo)e^x 1/(sqrt(2\pi)) e ^(-x^2/2)dx=int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x^2-2x)/2)dx$
Basta completare il quadrato all'esponente e trovi il risultato
Cosa potrà mai essere il risultato?
Se invece non ti piace come metodo allora calcoli l'integrale analiticamente
$int_(-oo)^(oo)e^x 1/(sqrt(2\pi)) e ^(-x^2/2)dx=int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x^2-2x)/2)dx$
Basta completare il quadrato all'esponente e trovi il risultato
Niente sarà che è tutta oggi che sono sui libri e sono fuso, sarà che è passato un po' dallo studio degli integrali, saranno entrambe le cose ma io non riesco a risolvere l integrale analiticamente... 
$int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x^2-2x+1-1)/2)dx=e^(1/2)\underbrace{int_(-oo)^(oo)1/(sqrt(2pi))e^(-(x-1)^2/2)dx}_{=1}=e^(1/2)$
L'integrale fa uno perché è l' integrale di una gaussiana $N(1;1)$
L'integrale fa uno perché è l' integrale di una gaussiana $N(1;1)$
Ok ora ci sono... Grazie mille... Davvero
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