Media aritmetica e quadratica
Perche la media quadratica è sempre piu alta dell'aritmetica 
Toglietemi questo dubbio per favore
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Risposte
Vogliamo dimostrare la disuguaglianza:
$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}$$
ovvero
$$ \left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right) ^2 \leq n \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)$$
Suppongo tutti gli $a_i$ positivi, altrimenti a maggior ragione è vera (se fossero negativi la precedente coimplicazione potrebbe essere falsa).
Consideriamo la seguente espressione in $t$:
$$ \sum_{i=1}^{n}(t-a_i)^2 = nt^2 - 2\left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right)t + \sum_{i=0}^{n}a_i^2$$
Ovviamente l'espressione di secondo grado in $t$ ha discriminante minore o uguale a $0$ (considero $\frac{\Delta}{4}$) ovvero:
$$ \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right) ^2 - n \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right) \leq 0$$
Che è proprio la tesi...
$$ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}$$
ovvero
$$ \left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right) ^2 \leq n \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)$$
Suppongo tutti gli $a_i$ positivi, altrimenti a maggior ragione è vera (se fossero negativi la precedente coimplicazione potrebbe essere falsa).
Consideriamo la seguente espressione in $t$:
$$ \sum_{i=1}^{n}(t-a_i)^2 = nt^2 - 2\left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right)t + \sum_{i=0}^{n}a_i^2$$
Ovviamente l'espressione di secondo grado in $t$ ha discriminante minore o uguale a $0$ (considero $\frac{\Delta}{4}$) ovvero:
$$ \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right) ^2 - n \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right) \leq 0$$
Che è proprio la tesi...
azz bello questo metodo!
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