Media aritmetica e proprietà

[cassy79]

Perchè la media aritmetica minimizza la somma degli scarti al quadrato?
Da qualche parte ho letto che questo ha a che vedere con il binomio del quadrato.
Chi mi saprebbe spiegare semplicemente perchè ha questa proprietà? Come si arriva a dimostrarla?
Grazie in anticipo

Aggiungo questo dettaglio:
a cosa mi serve nella pratica questa proprietà? Quando ne posso trovare l'utilità?

[cenzo1]

Benvenuto sul forum,
di questo argomento se n'è già parlato qui: proprieta-della-media-aritmetica-t79973.html

Ti consiglio di provare l'utilissima funzione "Cerca" che trovi in alto per trovare gli argomenti già discussi.

Ciao.

[cassy79]

Grazie, e grazie per la gentilezza con cui me l'hai fatto notare. Però aggiungo un dettaglio alla domanda...
Inoltre, non si può dimostrare con il metodo del binomio? La dimostrazione segnalata non riesco ad applicarla bene.

[cenzo1]

Se hai dato un occhio a quel link ci sono due dimostrazioni, prima una che fa uso delle derivate e poi una che usa lo sviluppo del quadrato del binomio. Se hai dubbi su qualche passaggio cerca di essere più specifico su cosa non è chiaro.

Questa proprietà ci dice che la media aritmetica è l'indicatore di tendenza centrale che rende minimo lo scarto quadratico medio.

[cassy79]

Ora mi è chiaro cosa ci dice questa proprietà. Grazie.
Tuttavia, non so sviluppare un binomio e quindi non riesco a collegarlo alla media aritmetica.
Ti ho inviato un messaggio privato per non fare citazioni sul forum. E' in quel link che avevo letto dell'associazione tra questa proprietà e il binomio... ma non ne vengo ancora a capo.

[cenzo1]

"cassy79":Tuttavia, non so sviluppare un binomio

Non conosco il livello dei tuoi studi.. però in tal caso ti conviene ripassare il quadrato del binomio..

Per la dimostrazione ti consiglio di partire dalla somma degli scarti quadratici dei valori \(x_i\) da un qualunque numero \(x\):
\( \displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i-x)^2 \)

Prosegui aggiungendo e togliendo la media \(\mu\) nella parentesi e poi sviluppando il quadrato del binomio..

Comuque la dimostrazione la puoi trovare in molti libri di matematica di scuola superiore, ad esempio quelli per Ragioneria o nei testi di Calcolo delle Probabilità, Statistica e Ricerca Operativa per il triennio dell'ITI ad indirizzo informatico.

[cassy79]

Grazie. So sviluppare il binomio. Intendo la dimostrazione....
Ultima cosa: errore quadratico medio e scarto quadratico medio sono la stessa cosa?

[cenzo1]

In effetti è meglio parlare di scarto quadratico medio in questo caso. L'errore quadratico medio si usa nella teoria della stima.

[cassy79]

Perfetto. Dubbio risolto. Grazie ancora.