Mazzo di n chiavi

[Magma1]

Una donna ha un mazzo con $n$ chiavi, una delle quali apre la sua porta. Se le prova a caso scartando quelle che non aprono, qual è la probabilità che trovi la chiave giusta al $k$-esimo tentativo?

In questo caso io mi ero costruito l'esperimento

1	2	3	4	$...$	probabilità

da cui ho dedotto che la probabilità di $C:={$trovare la chiave al $k$-esimo tentativo$}$ è:

$P(C)=1/(n-(k-1))=1/(n-k+1)$

E non riesco a capire perché il risultato dovrebbe essere $1/n$

[Lo_zio_Tom]

Perché la distribuzione è uniforme e quindi la probabilità è sempre $1/n$ in qualunque tentativo .

Al primo tentativo: $1/n$

Al secondo tentativo (deve aver sbagliato il primo): $ (n-1)/n * 1/(n-1)=1/n$

Ecc ecc

[Magma1]

"tommik":Perché la distribuzione è uniforme e quindi la probabilità è sempre $1/n$ in qualunque tentativo .

Per distribuzione uniforme intendi che egli eventi sono equiprobabili?

"tommik":
Al primo tentativo: $1/n$

Al secondo tentativo (deve aver sbagliato il primo): $ (n-1)/n * 1/(n-1)=1/n$

Ecc ecc

Non riesco a spiegarmene il motivo. Aumentando i tentativi, non dovrebbe ridursi lo spazio degli esiti: se la donna rimane con due chiavi, la probabilità di prendere quella giusta dovrebbe essere di un $1/2$.

[Lo_zio_Tom]

Se rimani con una chiave la probabilità è 1. Ma per rimanere con una chiave devi aver necessariamente sbagliato $(n-1)$ tentativi precedenti. Se leggi bene il mio post ti ho anche spiegato come verificare che la probabilità è sempre $1/n$

Se non ti è chiaro prova con un esempio numerico:

Abbiamo 3 chiavi di cui solo una giusta. Calcola la distribuzione dei tentativi necessari a trovare la chiave nell'ipotesi di scartare ogni volta la chiave sbagliata.

Il supporto è ovviamente

$x=1,2,3$

$P(X=1)=1/3$

$P(X=2)=2/3 1/2=1/3$

$P(X=3)=1-1/3-1/3=1/3$

Ora dovrebbe essere chiaro che la distribuzione è uniforme discreta e quindi tutti gli eventi equiprobabili

[Magma1]

"tommik":Se leggi bene il mio post ti ho anche spiegato come verificare che la probabilità è sempre $1/n$

Il come l'ho capito; è il perché che non mi torna.

"tommik":[...] Se non ti è chiaro prova con un esempio numerico:[...]
Ora dovrebbe essere chiaro che la distribuzione è uniforme discreta e quindi tutti gli eventi equiprobabili

Siccome questi argomenti sono trattati nel capitolo successivo, penso che ci sia anche un metodo diverso per risolverlo

Cioè, sinora, gli esercizi sono stati del tipo

$P(E)=(#E)/(#S)$[nota]Dove con $#$ indico la cardinalità.[/nota]

ora perché si è passata a

$P(E)=P(E)* P(E^c)$?

È il motivo teorico di questo calcolo che non capisco.

[Lo_zio_Tom]

perché l'evento in questione è un evento composto da più eventi; devi quindi calcolare la probabilità dell'inetersezione fra più eventi.

$P(A nn B)=P(A)P(B|A)$

[Magma1]

Quindi ho

$A:={$trovo la chiave al $k$-esimo tentativo$}$
$B:={$non trovo la chiave al $k$-esimo tentativo$}$

per cui l'evento

$B|A={$non trovo la chiave sapendo che ne ho scartate $k}$

da cui

$B|A=A^c$

E quindi poi la probabilità è

$P(Ann B)=P(A)P(B|A)=P(A)P(A^c)$

[Lo_zio_Tom]

no.

B|A: trovo la chiave al k-esimo tentativo dato che non l'ho trovata nei (k-1) tentativi precedenti

A: non trovo la chiave nei (k-1) tentativi precedenti.


Ovviamente, se vuoi applicare la formula dei casi favorevoli / casi possibili è comunque possibile ma, secondo me, è di più difficile comprensione:

$P(X=k)=(((n-1),(k-1)))/(((n),(k))*k)=((n-1)!k!(n-k)!)/((k-1)!(n-1-k+1)!n!k)=1/n$

Secondo me il modo più naturale di ragionare su questo esercizio è come ti ho spiegato:

trovare la chiave al k-esimo tentativo (dato che non l'ho trovata prima) lo hai già calcolato tu: $1/(n-k+1)$

ora ti manca la probabiltà di NON trovare la chiave nei (k-1) tentativi precedenti, ovvero

$(n-1)/n*(n-2)/(n-1)*(n-3)/(n-2)*....*(n-k+1)/(n-k+2)=(n-k+1)/n$

moltiplichi le due probabilità e trovi la probabilità dell'intersezione richiesta $rarr 1/n$

Consiglio: non stare troppo a crucciarti su questi esempietti banali....vai avanti con la teoria e fra una settimana ti sembreranno una serie immane di ovvietà.....

[Magma1]

"tommik":
Ovviamente, se vuoi applicare la formula dei casi favorevoli / casi possibili è comunque possibile ma, secondo me, è di più difficile comprensione:

$P(X=k)=(((n-1),(k-1)))/(((n),(k))*k)=((n-1)!k!(n-k)!)/((k-1)!(n-1-k+1)!n!k)=1/n$

Ottimo sicuramente è questa la risoluzione cui l'autore del libro sperava si giungesse.
Ti ringrazio per la disponibilità

"tommik":
Consiglio: non stare troppo a crucciarti su questi esempietti banali....vai avanti con la teoria e fra una settimana ti sembreranno una serie immane di ovvietà.....

Lo immagino, è che ancora non so bene a quali argomenti dara importanza e a quali no

[Magma1]

Ho trovato un altro modo per risolvere l'esercizio: notando che ci sono

$#S=n(n-1)*...*(n-k+1)=(n!)/((n-k)!) $

esiti equiprobabili, di cui

$#E=(n-1)*...*(n-k+1)=((n-1)!)/((n-k)!)$

risultano avere come i-esima chiave estratta quella che apre la porta, si ha

$(#E)/(#S)=((n-1)!)/((n-k)!) ((n-k)!)/(n!)=((n-1)!)/(n!)=1/n$

[Magma1]

Senza scartare le chiavi provate, la probabilità di trovare la chiave al k-esimo tentativo la trovo:

indico con $p$ la probabilità di trovare la chiave

Al primo tentativo ho: $p$
Al secondo tentativo ho: $(1-p) p$
Al secondo tentativo ho: $(1-p)(1-p)p$

Al k-esimo tentativo ho: $(1-p)^(k-1) p$

Però "formalmente" come posso trovare che $p=1/n$?

[Lo_zio_Tom]

Caso favorevoli: 1
Casi possibili: n

E fai la divisione

[Magma1]

Esatto, anch'io avevo pensato a quello, però i vari esiti non sono equiprobabili ma variano al variare di $k$:

Cioè se $E_k$ è l'evento "trovo la chiave al k-tentativo"

$P(E_1)+P(E_2)+P(E_2)+...+P(E_n)=P(S)=1$

$p+(1-p)p+(1-p)^2p+...+(1-p)^np=1$

$p[1+(1-p)+(1-p)^2+...+(1-p)^n]=1$

$...$

Forse mi sto solo complicando la vita

[Lo_zio_Tom]

Gli eventi sono indipendenti e tutti di probabilità $p=1/n$

Che siano o meno equiprobabili non c'entra. Quello che conta è che

$P(E_i|bar(E)_(i-1))=P(E_i)=1/n$

Prova questo.

Poi prova a calcolare la probabilità di trovare la chiave entro il k-esimo tentativo, media e varianza dei tentativi...

[Magma1]

"tommik":Gli eventi sono indipendenti e tutti di probabilità $p=1/n$

"tommik":Questa è la (una delle parametrizzazioni) della distribuzione geometrica. Inizia a trovare la probabilità di trovare la chiave entro il k-esimo tentativo, poi media è varianza dei tentativi...

La media, se non sbaglio, dovrebbe essere:

$E[X]=1*P(X=1)+0*P(X=0)=p+0=p$

Ma questi sono argomenti che devo ancora iniziare, volevo prima finire gli esercizi "elementari", senza usare i concetti "più avanzati" di distribuzioni etcc.. Ha senso o vado avanti?

In genere non riesco ad andare avanti finché i concetti precedenti non siano del tutto chiari (Sarà il fantasma di Cartesio a tormentarmi )

[Lo_zio_Tom]

La media è $1/p$ e va calcolata facendo

$sum_(x=1)^(oo) xp(x)$

E ci si può arrivare anche con pochi passaggi

[Magma1]

"tommik":La media è $1/p$ e va calcolata facendo

$sum_(x=1)^(oo) xp(x)$

E ci si può arrivare anche con pochi passaggi

Opss... la definizione che avevo letto era di media di una variabile bernoulliana (credo)

"tommik":Che siano o meno equiprobabili non c'entra. Quello che conta è che

$ P(E_i|bar(E)_(i-1))=P(E_i)=1/n $

Prova questo.

Thanks

[Magma1]

"tommik":Gli eventi sono indipendenti e tutti di probabilità $p=1/n$

Che siano o meno equiprobabili non c'entra. Quello che conta è che

$P(E_i|bar(E)_(i-1))=P(E_i)=1/n$

Continuo a non capire; ad esempio:

$P(E_3)=[(1-1/n)^2*1/n ]ne 1/n$

(mi riferisco al caso in cui si reintroduce la chiave nel mazzo delle $n$ chiavi)

[Lo_zio_Tom]

sono tutti concetti che ti si chiariranno andando avanti. Abbiamo due approcci opposti. Quando ero studente (ma anche ora che leggo di Statistica solo per diporto) preferivo leggere diversi capitoli sommariamente per avere un'infarinatura dell'argomento e poi tornare dettagliatamente su ogni questione...ma è appunto un tipo di approccio, diametralmente opposto al tuo.

Tornando alla spiegazione considera quanto segue:

Nel caso di reimmissione della chiave nel mazzo, ogni volta che provi a cercare la chiave giusta avrai sempre $p=1/n$ di probabilità, e ciò è evidente dato che avrai sempre 1 caso favorevole su n casi possibili. STOP. Non c'è altro da capire né da dimostrare. Il fatto che la probabilità degli eventi $E_1,E_2,...,E_(oo)$ non siano costanti non vuol dire nulla....NON DEVONO ESSERE COSTANTI ma sono definite per l'appunto da una distribuzione di probabilità, Geometrica, e di conseguenza non solo non sono costanti ma sono geometricamente più piccole man mano che i tentativi falliti aumentano....la probabilità $P(E_18)$ è la probabilità di un evento "composto", appunto composto da 18 eventi indipendenti: sbaglio la prima, la seconda, la terza,....fino alla 17-esima volta e finalmente alla 18-esima volta centro il bersaglio....probabilità bassissima....

Es con 10 chiavi sarà $(9/10)^17* 1/10=1.67%$

Nell'esempio "senza reimmissione " della chiave la distribuzione è uniforme, ovvero tutti gli eventi hanno la stessa probabilità...ma anche qui la equiprobabilità degli eventi esce da un calcolo di probabilità condizionata....

spero di essermi spiegato