Matrice di Covarianza

f.schiano1
Ciao a tutti, mi sto studiando i concetti di varianza, covarianza, matrice di covarianza e ho un po' di confusione.

Allora, innanzitutto:
- La varianza e' un numero ed e' riferito ad una singola variabile aleatoria (ad esempio X). Chiamiamola $Var(x)$

- La covarianza e' un numero ed e' riferito a 2 variabili aleatorie (ad esempio X e Y) oppure a due variabili aleatorie uguali (in questo caso la $Cov(X,X)=Var(X)$ ). Chiamiamola quindi $Var(X)$.

- La matrice di covarianza e' appunto una matrice ed e' riferita a 2 VETTORI di variabili aleatorie (giusto?). Ora se entrambi i vettori hanno la stessa dimensione, ad esempio $X in RR^n $ e $Y in RR^n$, ho che la matrice e' quadrata.
Se invece i due vettori di variabili aleatorie sono di dimensioni diverse, la matrice di covarianza non e' quadrata? Oppure non esiste?

Vorrei sapere se questi miei ragionamenti sono giusti o meno!

Grazie per l'aiuto.

Risposte
Arado90
La matrice di covarianza può essere solo quadrata, quindi può riferirsi solo a due vettori di variabili aleatorie della stessa dimensione (cioè con lo stesso numero di osservazioni).

f.schiano1
Grazie mille!!!

DajeForte
Aspetta secondo me stai facendo un po' di confusione.
Ti inveteri a leggere questo: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

Arado90
Letto, ma non mi pare di confondermi.

Tra l'altro viene detto pure là che una delle proprietà di cui gode tale matrice è la simmetria, e solo le matrici quadrate sono simmetriche.

DajeForte
La matrice di varianze è definita su un solo vettore non due. O meglio puoi anche definirla su due ma non hai più la solita matrice di varianze ma hai una matrice (poco utilizzata e conosciuta) che si chiama cross-covariance matrix.

La prima (che è quella a cui ti stai riferendo) è definita utilizzando un solo vettore di dimensione n:

$X=((X_1),(X_2),(.),(.),(.),(X_n))$; se definisci con $mu$ il vettore (sempre colonna) delle medie,

la matrice di varianze e covarianze si definisce come:

$E[(X-mu)(X-mu)^T]$ e questa è una matrice (quadrata) simmetrica di ordine n.

Se invece vuoi parlare della seconda hai un altro vettore colonna Y di ordine m con medie $mu_Y$;

la matrice è: $E[(Y-mu_Y)(X-mu)^T]$ che è una matrice mxn; e quindi non devono essere della stessa dimensione.

Se unisci i due vettori Y e X (ne fai un unico grande vettore) la ccm è una parte della matrice di varianze e covarianze.

Arado90
Ah, è vero! Sì, ho confuso le due cose! :?

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