Matrice di covarianza
Buon giorno Dato un vettore di variabili aleatorie, come si dimostra che la matrice di covarianza è definita positiva? In oltre è definita positiva o potrebbe anche essere semidefinita positiva?
Grazie a chiunque risponda
Grazie a chiunque risponda
Risposte
Ti ringrazio per il link, ma non ho capito, cioè forse credo che dicono che sia semidefinita, ma non ne capisco comq il motivo
.
Ciao ti ringrazio per la risposta
Non c'è un modo più semplice per dimostrarlo considerando la covarianza tra 2 variabili aleatorie e non la media e la covarianza campionaria? Perché
questa dimostrazione mi sembra molto complessa se fatta con le statistiche campionarie.
In ogni caso se è semidefinita positiva vuol dire che esiste almeno un
vettore diverso dal vettore nullo tale che moltiplicato a sinistra e a destra per la matrice di covarianza ottengo uno scalare uguale a zero?
Non c'è un modo più semplice per dimostrarlo considerando la covarianza tra 2 variabili aleatorie e non la media e la covarianza campionaria? Perché
questa dimostrazione mi sembra molto complessa se fatta con le statistiche campionarie.
In ogni caso se è semidefinita positiva vuol dire che esiste almeno un
vettore diverso dal vettore nullo tale che moltiplicato a sinistra e a destra per la matrice di covarianza ottengo uno scalare uguale a zero?
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Grazie mille
La dimostrazione che ho trovato al link https://www.matematicamente.it/forum/ma ... 79391.html
sembra più facile, ma purtroppo non capisco proprio l ultimo passaggio, cioè dall ultimo passaggio a me sembra che sia definita positiva poiché lo scalare è nullo solo se il vettore v che è moltiplicato a sinistra e a destra è nullo
La dimostrazione che ho trovato al link https://www.matematicamente.it/forum/ma ... 79391.html
sembra più facile, ma purtroppo non capisco proprio l ultimo passaggio, cioè dall ultimo passaggio a me sembra che sia definita positiva poiché lo scalare è nullo solo se il vettore v che è moltiplicato a sinistra e a destra è nullo
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Ti ringrazio
Quello che non capisco è
quali sono le condizioni per avere lo scalare nullo con un vettore $ u $ diverso dal vettore nullo, perché a me sembra che lo scalare è nullo solo se $ u $ è nullo.
Se invece la variabile $ X $ assume valore pari alla sua media allora $ X $ non è una variabile aleatoria . È questo il motivo principale per il quale secondo me la matrice di covarianza deve essere definita positiva. L esempio della matrice che hai fatto non può essere una matrice di covarianza perché non può esistere una variabile aleatoria con varianza nulla perché altrimenti non sarebbe una variabile aleatoria
Quello che non capisco è
quali sono le condizioni per avere lo scalare nullo con un vettore $ u $ diverso dal vettore nullo, perché a me sembra che lo scalare è nullo solo se $ u $ è nullo.
Se invece la variabile $ X $ assume valore pari alla sua media allora $ X $ non è una variabile aleatoria . È questo il motivo principale per il quale secondo me la matrice di covarianza deve essere definita positiva. L esempio della matrice che hai fatto non può essere una matrice di covarianza perché non può esistere una variabile aleatoria con varianza nulla perché altrimenti non sarebbe una variabile aleatoria
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Un ultima cosa e poi ti lascio
Riprendendo l esempio della matrice che hai fatto semidefinita positiva
, avendo uno zero sulla diagonale principale e visto che sulla diagonale principale ci sono le vaarianze, STAI DICENDO CHE UNA VARIABILE ALEATORIA PUÒ AVERE VARIANZA NULLA? SE LA VARIABILE HA VARIANZA NULLA HA SENSO DEFINIRLA COME VARIABILE ALEATORIA? Perché se non ha senso (come penso io) allora la matrice dell esempio non potrebbe essere considerata una matrice di covarianza . Cioè la varianza di una variabile aleatoria secondo me deve essere solo maggiore stretta di zero per definizione di variabile aleatoria
Riprendendo l esempio della matrice che hai fatto semidefinita positiva
, avendo uno zero sulla diagonale principale e visto che sulla diagonale principale ci sono le vaarianze, STAI DICENDO CHE UNA VARIABILE ALEATORIA PUÒ AVERE VARIANZA NULLA? SE LA VARIABILE HA VARIANZA NULLA HA SENSO DEFINIRLA COME VARIABILE ALEATORIA? Perché se non ha senso (come penso io) allora la matrice dell esempio non potrebbe essere considerata una matrice di covarianza . Cioè la varianza di una variabile aleatoria secondo me deve essere solo maggiore stretta di zero per definizione di variabile aleatoria
"carlo96":
STAI DICENDO CHE UNA VARIABILE ALEATORIA PUÒ AVERE VARIANZA NULLA?
Sì.
"carlo96":
SE LA VARIABILE HA VARIANZA NULLA HA SENSO DEFINIRLA COME VARIABILE ALEATORIA?
È un caso degenere, sicuramente, ma non puoi ignorare la possibilità.
https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_degenere
Una variabile casuale potrebbe anche avere varianza zero senza essere costante. Magari assume un qualche valore con probabilità 1, e altri con probabilità 0.
Il caso di variabile aleatoria degenere, dal link che mi hai dato, dice che è una costante, quindi è come se non fosse variabile.
Invece l altro caso che dici, cioè di variabile che può assumere valori con probabilità nulla vuol dire che la variabile può comunque assumere quei valori pur avendo probabilità nulla?
Invece l altro caso che dici, cioè di variabile che può assumere valori con probabilità nulla vuol dire che la variabile può comunque assumere quei valori pur avendo probabilità nulla?
"carlo96":
Il caso di variabile aleatoria degenere, dal link che mi hai dato, dice che è una costante, quindi è come se non fosse variabile.
Soddisfa la definizione di una variabile casuale, però. Sì, sarà un caso abbastanza assurdo, ma con ciò?
"carlo96":
Invece l altro caso che dici, cioè di variabile che può assumere valori con probabilità nulla vuol dire che la variabile può comunque assumere quei valori pur avendo probabilità nulla?
Sì.
E non c'entra nulla ma mi dispiace tanto che nessuno sembra incontrare le distribuzioni singolari in molti corsi di probabilità.
A me sembra assurdo perché se la variabile aleatoria assume un valore con probabilità 1 e poi ci sono altri valori possibili con probabilità 0, come fa la variabile ad assumere il valore con probabilità 0 sia perché dovrebbe sempre assumere quello con probabilità 1, sia perché ha probabilità 0
La cosa che ho capito ( e che mi sembra strana) è che una variabile aleotoria può avere varianza nulla perché può assumere altri valori con probabilità nulla e anche una costante è una variabile aleatoria
Mi sembrano 2 cose assurde onestamente
La cosa che ho capito ( e che mi sembra strana) è che una variabile aleotoria può avere varianza nulla perché può assumere altri valori con probabilità nulla e anche una costante è una variabile aleatoria
Mi sembrano 2 cose assurde onestamente
"carlo96":
A me sembra assurdo perché se la variabile aleatoria assume un valore con probabilità 1 e poi ci sono altri valori possibili con probabilità 0, come fa la variabile ad assumere il valore con probabilità 0 sia perché dovrebbe sempre assumere quello con probabilità 1, sia perché ha probabilità 0
Le cose certe hanno probabilità 1. Le cose impossibili hanno probabilità 0.
Ma non tutte le cose con probabilità 1 sono certe, e non tutte le cose con probabilità 0 sono impossibili.
"carlo96":
La cosa che ho capito ( e che mi sembra strana) è che una variabile aleotoria può avere varianza nulla perché può assumere altri valori con probabilità nulla e anche una costante è una variabile aleatoria
Mi sembrano 2 cose assurde onestamente
Sono casi estremi, magari, ma possono capitare. E nemmeno tanto estremi. Gli eventi possibili ma con probabilità 0 sono dappertutto.
Ho visto ora questo thread e mi inserisco per dare un contributo forse inutile. Non sono un probabilista e dunque mi sono riguardato le definizioni...
Se ho capito date \(\displaystyle X_1,\dots,X_n \) variabili aleatorie di definisce la matrice di covarianza come la matrice \(\displaystyle Q \) le cui componenti sono date da:
\(\displaystyle \sigma_{i,j}:=\mathrm{cov}(X_i,X_j) \)
Si vede dalla definzione che \(\displaystyle Q \) è simmetrica. Per vedere che è semidefinita positiva si prende un vettore
\(\displaystyle \xi \) di componenti \(\displaystyle \xi_1,\dots,\xi_n \) e si calcola \(\displaystyle \xi^tQ\xi \). Usando le proprietà di varianza e covarianza si ha:
\(\displaystyle \xi^TQ\xi=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(X_i,X_j)\xi_i\xi_j=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(\xi_iX_i,\xi_jX_j)=\mathrm{cov}\left(\sum_i\xi_iX_i,\sum_j\xi_jX_j\right)=\mathrm{var}\left(\sum_i\xi_iX_i\right)\geq0.\)
Dinque \(\displaystyle Q\geq0 \). Mi sembra peraltro chiaro che \(\displaystyle Q \) non è per forza definita positiva in casi molto semplici (e cioè quando le $X_i$ sono tra loro linearmente dipendenti).
Se per esempio ho \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle X_1=X_2 =X\), qualsiasi sia $X$, allora prendendo $\xi_1=1$ e $\xi_2=-1$ viene $\xi_1X_1+xi_2X_2=X-X=0$, dunque $\xi^TQ\xi=0$. Che poi se $X_1=X_2=X$ si vede subito che tutte le quattro componenti di $Q$ coincidono tra loro (con la varianza di $X$), dunque $\det(Q)=0$ e $Q$ ha nucleo.
Lascio a voi la discussione sull significato
Se ho capito date \(\displaystyle X_1,\dots,X_n \) variabili aleatorie di definisce la matrice di covarianza come la matrice \(\displaystyle Q \) le cui componenti sono date da:
\(\displaystyle \sigma_{i,j}:=\mathrm{cov}(X_i,X_j) \)
Si vede dalla definzione che \(\displaystyle Q \) è simmetrica. Per vedere che è semidefinita positiva si prende un vettore
\(\displaystyle \xi \) di componenti \(\displaystyle \xi_1,\dots,\xi_n \) e si calcola \(\displaystyle \xi^tQ\xi \). Usando le proprietà di varianza e covarianza si ha:
\(\displaystyle \xi^TQ\xi=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(X_i,X_j)\xi_i\xi_j=\sum_{i,j}\mathrm{cov}(\xi_iX_i,\xi_jX_j)=\mathrm{cov}\left(\sum_i\xi_iX_i,\sum_j\xi_jX_j\right)=\mathrm{var}\left(\sum_i\xi_iX_i\right)\geq0.\)
Dinque \(\displaystyle Q\geq0 \). Mi sembra peraltro chiaro che \(\displaystyle Q \) non è per forza definita positiva in casi molto semplici (e cioè quando le $X_i$ sono tra loro linearmente dipendenti).
Se per esempio ho \(\displaystyle n=2 \) e \(\displaystyle X_1=X_2 =X\), qualsiasi sia $X$, allora prendendo $\xi_1=1$ e $\xi_2=-1$ viene $\xi_1X_1+xi_2X_2=X-X=0$, dunque $\xi^TQ\xi=0$. Che poi se $X_1=X_2=X$ si vede subito che tutte le quattro componenti di $Q$ coincidono tra loro (con la varianza di $X$), dunque $\det(Q)=0$ e $Q$ ha nucleo.
Lascio a voi la discussione sull significato
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