Matrice definita positiva

niandra82
Vorrei sapere quali sono le proprietà statistiche che scaturiscono dalla definizione di matrice definita positiva.

Per essere più chiaro perchè si richiede che la matrice delle correlazioni sia definita positiva?

Risposte
vict85
Non sono un esperto di statistica ma penso sia semplicemente perché le probabilità sono positive.

cenzo1
"niandra82":
Per essere più chiaro perchè si richiede che la matrice delle correlazioni sia definita positiva?

Altrimenti non potrebbe essere una matrice di correlazione.

Credo che discenda dalla definizione di covarianza.

Indico con $X$ un vettore aleatorio e $\mu$ il vettore delle medie.

Per definizione la matrice di covarianza è $\Sigma=E((X-\mu)(X-\mu)^T)$

Preso un generico vettore riga $u$ (non aleatorio) abbiamo:

$u\Sigma u^T=uE((X-\mu)(X-\mu)^T)u^T=E(u(X-\mu)(X-\mu)^Tu^T)=E((u(X-\mu))*(u(X-\mu))^T)=E((u*(X-\mu))^2)$

Siccome $(u*(X-\mu))^2>=0$, risulta anche $u\Sigma u^T>=0$, cioè la matrice di covarianza è semidefinita positiva.

Dato che la matrice di correlazione si può vedere come la matrice di covarianza tra le variabili standardizzate,
anch'essa risulta semidefinita positiva.

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