Martingala: chiarimento su dimostrazione e definizione
Salve a tutti,
ho da chiarire tutti i possibili dubbi sulla martingala, ovvero sia sulla sua definizione, sia sulla valutazione se un processo è una martingala.
Ho visto diversi siti (esempio 1 o esempio 2) e altri post a riguardo ma mi servono delle risposte specifiche alle mie domande per chiarirmi le idee.
Ammetto che alcune formule mi sembrano un po' difficili da capire, quindi chiedo scusa se farò e chiederò qualche esplicitazione in più.
Dalla definizione di martingala, ho che un processo stocastico può essere definito martingala se
$ mathbb(E)[X_(t+1)|X_1,X_2,X_3,...X_t]=X_t $
Considero il seguente processo stocastico: una serie di lanci di una stessa moneta per cui ho una vincita ogni volta che esce testa, ed una perdita ogni volta che esce croce, dove perà ogni volta che ho una perdita raddoppio la somma scommessa per il lancio successivo. Matematicamente dovrebbe essere:
$ X_i={ ( 2*n-1 , p=1/2),( -2*n+1, p=1/2 ):} $
dove:
$ n=(m) AA X_(i+1),X_(i+2),...,X_(i+m)<0 $ con $ m in mathbb(N) $
Corretto?
Supponendo di avere 3 lanci, ovvero testa, testa, croce, ho che la vincita totale è stata di 1 (ovvero 1+1-1), il valore $ X_1=1 $ , $ X_2=1 $ , $ X_3=-1 $ quindi per essere una martingala devo avere che $ mathbb(E)[X_4]=X_3 $ Esatto?
Come calcolo il valore atteso $ mathbb(E)[X_4] $ ?
$ mathbb(E)[X_4]=1/2*1+1/4*1+1/8*(-1)+ ? $ e non so più andare avanti.
Stessa cosa vorrei fare per definire e dimostrare l'urna di Polya, ma andiamo per gradi.
Grazie
ho da chiarire tutti i possibili dubbi sulla martingala, ovvero sia sulla sua definizione, sia sulla valutazione se un processo è una martingala.
Ho visto diversi siti (esempio 1 o esempio 2) e altri post a riguardo ma mi servono delle risposte specifiche alle mie domande per chiarirmi le idee.
Ammetto che alcune formule mi sembrano un po' difficili da capire, quindi chiedo scusa se farò e chiederò qualche esplicitazione in più.
Dalla definizione di martingala, ho che un processo stocastico può essere definito martingala se
$ mathbb(E)[X_(t+1)|X_1,X_2,X_3,...X_t]=X_t $
Considero il seguente processo stocastico: una serie di lanci di una stessa moneta per cui ho una vincita ogni volta che esce testa, ed una perdita ogni volta che esce croce, dove perà ogni volta che ho una perdita raddoppio la somma scommessa per il lancio successivo. Matematicamente dovrebbe essere:
$ X_i={ ( 2*n-1 , p=1/2),( -2*n+1, p=1/2 ):} $
dove:
$ n=(m) AA X_(i+1),X_(i+2),...,X_(i+m)<0 $ con $ m in mathbb(N) $
Corretto?
Supponendo di avere 3 lanci, ovvero testa, testa, croce, ho che la vincita totale è stata di 1 (ovvero 1+1-1), il valore $ X_1=1 $ , $ X_2=1 $ , $ X_3=-1 $ quindi per essere una martingala devo avere che $ mathbb(E)[X_4]=X_3 $ Esatto?
Come calcolo il valore atteso $ mathbb(E)[X_4] $ ?
$ mathbb(E)[X_4]=1/2*1+1/4*1+1/8*(-1)+ ? $ e non so più andare avanti.
Stessa cosa vorrei fare per definire e dimostrare l'urna di Polya, ma andiamo per gradi.
Grazie
Risposte
$(X_n)_n$ è una successione di variabili aleatorie indipendenti[nota]Stocasticamente indipendenti se consideriamo $n$ lanci di una moneta, Regressivamente indipendenti se consideriamo il fatto che, ogni volta che perdiamo, raddoppiamo la posta[/nota], dotate di momenti di ordine 1, ed aventi tutte media nulla.
Se denotiamo con $(mathcal(F)_n)$ la filtrazione naturale di tale successione, è evidente che tutti i valori attesi condizionati sono uguali a zero. In altri termini
$E[X_(n+1)|mathcal(F)_n]=0$
...e quindi la successione $(X_n)_n$ non è una martingala
Se invece consideri una funzione di tale successione, ad esempio $(S_n)_n$ definita da $S_n=sum_(i=1)^nX_i$ allora ottieni subito
$E[S_(n+1)|mathcal(F)_n]=E[X_(n+1)|mathcal(F)_n]+E[S_n|mathcal(F)_n]=E[X_n]+S_n=S_n$
e quindi tale successione è una martingala.
Esempi:
saluti
Se denotiamo con $(mathcal(F)_n)$ la filtrazione naturale di tale successione, è evidente che tutti i valori attesi condizionati sono uguali a zero. In altri termini
$E[X_(n+1)|mathcal(F)_n]=0$
...e quindi la successione $(X_n)_n$ non è una martingala
Se invece consideri una funzione di tale successione, ad esempio $(S_n)_n$ definita da $S_n=sum_(i=1)^nX_i$ allora ottieni subito
$E[S_(n+1)|mathcal(F)_n]=E[X_(n+1)|mathcal(F)_n]+E[S_n|mathcal(F)_n]=E[X_n]+S_n=S_n$
e quindi tale successione è una martingala.
Esempi:
saluti
Grazie per aver risposto.
Va bene la definizione di filtrazione naturale $ \mathfrak(F)_n $ , però come calcolo il valore atteso? E con cosa lo devo confrontare per verificare che sia uguale, e quindi verificare che sia una martingala?
Come fare praticamente questi passaggi non mi è chiaro.
Grazie
Va bene la definizione di filtrazione naturale $ \mathfrak(F)_n $ , però come calcolo il valore atteso? E con cosa lo devo confrontare per verificare che sia uguale, e quindi verificare che sia una martingala?
Come fare praticamente questi passaggi non mi è chiaro.
Grazie
Io ho capito questo: per essere una martingala devo avere $ mathbb(E)[X_(i+1)]=X_i $
Nel caso dell'esempio proposto, sia nel caso che $ X_i $ sia la quota giocata volta per volta, sia la somma vinta fino ad allora, come calcolo praticamente (calcoli) i due termini della seguente equazione (e quindi dimostrare che in un caso non è verificato e nell'altro sì):
$ mathbb(E)[X_(4)]=X_3 $ ?
-$X_3=-1$ se non considero la somma
-$X_3=1$ se considero la somma
-$ mathbb(E)[X_(4)]=0 $ ma come si calcola? (se non considero la somma)
-$ mathbb(E)[X_(4)]=? $ e come si calcola? (se considero la somma)
Spero di aver esposto bene i miei dubbi
Grazie
Nel caso dell'esempio proposto, sia nel caso che $ X_i $ sia la quota giocata volta per volta, sia la somma vinta fino ad allora, come calcolo praticamente (calcoli) i due termini della seguente equazione (e quindi dimostrare che in un caso non è verificato e nell'altro sì):
$ mathbb(E)[X_(4)]=X_3 $ ?
-$X_3=-1$ se non considero la somma
-$X_3=1$ se considero la somma
-$ mathbb(E)[X_(4)]=0 $ ma come si calcola? (se non considero la somma)
-$ mathbb(E)[X_(4)]=? $ e come si calcola? (se considero la somma)
Spero di aver esposto bene i miei dubbi
Grazie
Se due variabili \(\displaystyle X\),\(\displaystyle Y \) sono indipendenti allora \(\mathbb{E}[X|Y] = \mathbb{E}[X]\) e \(\mathbb{E}[Y|X] = \mathbb{E}[Y]\). La stessa cosa vale quando hai un numero maggiore di variabili indipendenti. Quindi, nel tuo caso, \(\displaystyle \mathbb{E}[X_{i+1}|\mathcal{F}_i] = \mathbb{E}[X_{i+1}] \neq X_i \). Nota, tra l'altro, che \(\mathbb{E}[X_{i+1}]\) è un elemento di \(\mathbb{R}\) mentre \(\displaystyle \mathbb{E}[X_{i+1}|\mathcal{F}_i]\) è una variabile aleatoria.
Non è ancora chiara la risposta. Mi serve un esempio numerico
Suppongo di giocare ad un gioco dove vi è il lancio di una moneta: se esce testa vinco, se croce perdo. Inizio a puntare 10€. Se vinco punto altri 10€, se perdo raddoppio la cifra scommessa.
Accade questo:
-sequenza lanci: T,C,C,T,T
-soldi in tasca (parto con 10€): 20,10,-10,30,40
-cifra puntata: 10€,10€,20€,40€,10€
Ora, seguendo la definizione devo trovare se è una martingala.
Ho i seguenti: X_1=20, X_2=10, X_3=-10,X_4=30,X_5=40 e quindi devo trovare X_4=E[X_5].
Calcolo il valore atteso di X_5:
0.5*20+10*0.5^2-10*(0.5)^3+30*(0.5)^4+40*(0.5)^5=14.375
Se X_4=30 che è diverso da 14.375, trovo che non è una martingala.
Dove sbaglio nei calcoli?
Grazie
Suppongo di giocare ad un gioco dove vi è il lancio di una moneta: se esce testa vinco, se croce perdo. Inizio a puntare 10€. Se vinco punto altri 10€, se perdo raddoppio la cifra scommessa.
Accade questo:
-sequenza lanci: T,C,C,T,T
-soldi in tasca (parto con 10€): 20,10,-10,30,40
-cifra puntata: 10€,10€,20€,40€,10€
Ora, seguendo la definizione devo trovare se è una martingala.
Ho i seguenti: X_1=20, X_2=10, X_3=-10,X_4=30,X_5=40 e quindi devo trovare X_4=E[X_5].
Calcolo il valore atteso di X_5:
0.5*20+10*0.5^2-10*(0.5)^3+30*(0.5)^4+40*(0.5)^5=14.375
Se X_4=30 che è diverso da 14.375, trovo che non è una martingala.
Dove sbaglio nei calcoli?
Grazie
Cambio i nomi per semplicità. Con \(\displaystyle X_n \) intendo la variabile aleatoria che ha valore \(1\) se vinci al turno \(\displaystyle n \) e \(0\) altrimenti. Definisco quindi \(S_n\) la variabile aleatoria che vuoi usare tu, ovvero la variabile aleatoria \(S_n = 2(1-X_n)S_{n-1} + 10X_n \) ponendo \(\displaystyle S_0 = 10 \) per comodità. Dalla formula precedente non è difficile notare che \(\displaystyle \mathbb{E}[S_n|S_{n-1}] = S_{n-1} + 5 \) quindi non si tratta di una martingala, sarebbe una martingala se smettessi di giocare quando vinci.
Tutto chiaro fino a: "sarebbe una martingala se smettessi di giocare quando vinci"
Si può fare un esempio numerico, simile al mio, che però sia una martingala?
Grazie
Si può fare un esempio numerico, simile al mio, che però sia una martingala?
Grazie
Il punto è che tu avevi sbagliato a fare il calcolo del valore atteso.
Avevi che \(\displaystyle S_5 = 40 \). Ora \(\displaystyle \mathbb{E}[S_6|S_1,S_2,\dotsc, S_5] = \mathbb{E}[S_6|S_5] \) consiste nel trovare la media di \(\displaystyle S_6 \) sapendo che \(\displaystyle S_5 \) ha, per esempio, valore \(\displaystyle 40 \).
Se \(\displaystyle S_5 \) ha valore \(\displaystyle 40 \), \(\displaystyle S_6 \) può avere solo \(\displaystyle 2 \) valori possibili: \(\displaystyle 80 \) oppure \(\displaystyle 10 \). Entrambi sono equamente probabili, quindi il valore atteso \(\displaystyle \mathbb{E}[S_6|S_1,S_2,\dotsc, S_5] = \mathbb{E}[S_6|S_5] = \frac{80 + 10}{2} = 45 \neq S_5 \).
Il mio commento si riferiva al fatto che se \(\displaystyle S_6 \) avesse avuto come valori probabili \(\displaystyle 80 \) e \(\displaystyle 0 \) allora la loro media sarebbe stata \(\displaystyle 40 \). Ma \(\displaystyle 70 \) e \(\displaystyle 10 \) sarebbero andati ugualmente bene.
Avevi che \(\displaystyle S_5 = 40 \). Ora \(\displaystyle \mathbb{E}[S_6|S_1,S_2,\dotsc, S_5] = \mathbb{E}[S_6|S_5] \) consiste nel trovare la media di \(\displaystyle S_6 \) sapendo che \(\displaystyle S_5 \) ha, per esempio, valore \(\displaystyle 40 \).
Se \(\displaystyle S_5 \) ha valore \(\displaystyle 40 \), \(\displaystyle S_6 \) può avere solo \(\displaystyle 2 \) valori possibili: \(\displaystyle 80 \) oppure \(\displaystyle 10 \). Entrambi sono equamente probabili, quindi il valore atteso \(\displaystyle \mathbb{E}[S_6|S_1,S_2,\dotsc, S_5] = \mathbb{E}[S_6|S_5] = \frac{80 + 10}{2} = 45 \neq S_5 \).
Il mio commento si riferiva al fatto che se \(\displaystyle S_6 \) avesse avuto come valori probabili \(\displaystyle 80 \) e \(\displaystyle 0 \) allora la loro media sarebbe stata \(\displaystyle 40 \). Ma \(\displaystyle 70 \) e \(\displaystyle 10 \) sarebbero andati ugualmente bene.
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