Marginale doppia di una v.c. tripla

[sabgarg]

Vi propongo un esercizio di statistica multivariata abbastanza semplice su cui però ho dei dubbi

Si consideri il vettore casuale $ (U,V,W)~f(u,v,w) $ :

$ f(u,v,w) = c u^2 v^2 $ con $ 0
1)Calcolare il valore di c

Per questo punto ho considerato che per essere una densità l'integrale triplo della funzione rispetto a u,v,w deve essere pari ad 1, e ho cercato il valore di c che rende vera questa uguaglianza.

$ int_(0)^(1)du int_(u)^(1)dv int_(v)^(1) c u^2 v^2 dw = 1 $

Il valore di c che ho trovato è c = 126

2) Derivare la fun. di densità marginale $ f(u,v) $ con $ 0
Per questo punto ho impostato così l'integrale:

$ f(u,v) = int_(v)^(1) c u^2 v^2 dw = c u^2 v^2 (1-v) $

3) Derivare la densità condizionata $ f(w|u,v) $ con $ 0
Qui invece ho fatto così:

$ f(w|u,v)= (f(u,v,w))/(f(u,v))= (c u^2 v^2)/(c u^2 v^2 (1-v)) = (1)/(1-v) $

Ciò che più mi ha creato dubbi sono i punti due e tre. Di solito sono abituato a lavorare su variabili casuali doppie, da cui estrarre una marginale e in quel caso, data la vc doppia (X,Y) per trovare la marginale di X mi basta integrare la funzione di densità congiunta in dy sul suo supporto. Nel caso sopra esposto invece per trovare la marginale doppia di una tripla ho integrato in dw.
Spero che qualcuno possa chiarire i miei dubbi. Vi ringrazio anticipatamente e auguro buon studio a tutti.

[Lo_zio_Tom]

"sgarge":
Spero che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.

Quali dubbi? Mi sembra tutto ben fatto

...mancherebbe giusto l'indicazione del dominio della densità condizionata trovata....che poi in definitiva è una uniforme.

Faccio solo notare che l'intervallo $0
Calcolala e vedrai che viene una distribuzione Beta; in particolare viene che $W~"Beta"(7;1)$

ecco un esercizio simile tutto risolto da cui prendere spunto e fare allenamento

qui un altro;
un altro qui




....questi li ho trovati ad una prima veloce ricerca.....se cerchi meglio ne troverai sicuramente altri

[sabgarg]

Innanzitutto volevo ringraziarti a nome di tutti gli utenti del foro perchè il lavoro che fai e la precisione con cui hai aiutato me e tante altre persone è veramente eccezionale. Grazie tommik.

Guardando gli esercizi da te linkati e svolgendoli ho imparato a guardare oltre il semplice svolgimento meccanico di un esercizio e a capire bene cosa si fa quando si opera in un certo modo con domini ed integrali.

Riguardo invece al tuo appunto sulla marginale che sarebbe una Beta con parametri 7 e 1, io ho provato a calcolarla ed ecco cosa ho trovato. PS Posto ogni passaggio del ragionamento per capire se è tutto corretto e aiutare chi vedrà in futuro a capire meglio.

La prima cosa da fare è, per usare la tua dicitura, "integrare il piano u":

$ int_(0)^(v) cu^2v^2 = (c/3)v^5 $

A questo punto bisognava capire su quali estremi integrare in $ dv $ per estrarre la marginale $ f(w) $ .

Avendo integrato il piano u in precedenza, saprò che $ f(v,w)=c/3v^5 $. Questa marginale doppia ha come dominio il triangolo compreso tra i punti (0,0) (1,0) (1,1) sul piano $ (v,w) $

A questo punto sarà facile capire che:

$ f(w)=int_0^w c/3v^5 dv = 7w^6 $ con $ c=126 $

Questo risultato è proprio la funzione di densità di una beta con parametri 7 e 1 .

Spero sia tutto giusto, grazie ancora.

[markowitz]

Stavo provando a calcolare la marginale $f(u)$ in questo modo:

$f(u) = int_(0)^(1) f(u,v) dv = int_(0)^(1) 126 u^2 v^2 (1-v) dv$

ma quella che mi risulta non è una densità. Qual'è il modo giusto di procedere?

[Lo_zio_Tom]

una volta eliminato il piano W il dominio rimane il seguente:

$0

per calcolare le marginali basta osservare la tripla disuguaglianza del dominio e vedere dove varia l'altra variabile:

$0

$u


Quindi

$f_U(u)=int_u^1f(u,v)dv$

$f_V(v)=int_0^vf(u,v)du$

Cita

Segnala

---

markowitz

1 nov 2019, 12:44

Grazie ad entrambi. Bell'esercizio

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[markowitz]

Grazie ad entrambi. Bell'esercizio