Maneggiare gaussiane e induzione statistica sulla gaussiana

[LLLorenzzz]

Ciao a tutti, ho due domande sugli esercizi sulle normali per voi:

1) Una prima tipologia mi da una v.a. con distribuzione normale di parametri $m$ e $s^2$ e mi chiede di scrivere la sua funzione di ripartizione in termini di quella della normale standard. A me è venuto da procedere così, volevo chiedervi se va bene:
$ F(t)=P(X < t )=P ((X-m)/s < (t-m)/s )) =N ( (t-m)/s) $
dove con N indico la funzione di ripartizione della normale standard; praticamente cerco di riportarmi alla probabilità sul numero
$ (X-m)/s $
perchè questo ha distribuzione normale standard....giusto?


2) La seconda è sull'induzione statistica bayesiana sulla media della normale: ho una successione di numeri aleatori che sono stocasticamente indipendenti subordinatamente alla conoscenza di un parametro aleatorio $\theta$ e con densità subordinata $f(x|\theta)$ una normale di varianza nota (nell'es che ho sotto adesso è 9) e media $\theta$. Mi viene detto che la distribuzione a priori di $\theta$ è anch'essa gaussiana, con media e varianza note (nell'es sono 1 e 9). Si osservano i valori dei primi due numeri aleatori (nell'es X1=5, X2=1.2). Dopo una serie di domande facili ne arriva una che mi preoccupa: chiede la densità a posteriori di X3. La formula data dal prof dice che si ricava così: si prende la densità subordinata $f(x|\theta)$, la si moltiplica per la densità a posteriori del parametro $\theta$ (che ho calcolato: è una normale di media 2.4 e varianza 3) e poi si integra il tutto su R in $\theta$.
Fin qui tutto più o meno bene, il fatto è che in tale integrale compaiono sia la x che la $\theta$ come esponenti di un esponenziale; se porto fuori tutto ciò che non dipende da $\theta$, e dentro l'intergale completo il quadrato all'esponente, in modo da farmi venire qualcosa che assomiglia a una gaussiana, allora mi ritrovo fuori una costante moltiplicativa e dentro l'integrale c'è la densità di una normale con varianza un numero e media una funzione della x. Questo integrale però mi da sempre 1 perchè è l'integrale di una densità su R, e allora mi rimane che la densità a posteriori di X3 è una gaussiana di media 0 e una certa varianza. Il fatto è che in tutti gli esercizi che sto facendo sull'argomento mi viene sempre una gaussiana di media 0, e la cosa mi ha insospettito...c'è qualche errore nel mio modo di ragionare e/o di risolvere l'integrale?

Grazie! ciao

[stefano_89]

per quanto riguarda la prima domanda: si.
la seconda non so..