Macchina inscatolatrice
Testo esercizio:
Una macchina inscatola pomodoro in barattoli da 0, 5 Kg. Per ogni barattolo, indipendentemente da tutti gli altri, il peso puo’ essere sbagliato con probabilita’ 0, 02.
a) Su 20 barattoli confezionati, qual e’ la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
b) A volte durante la notte si verfica un brusco calo di tensione e la mattina dopo la macchina e’ starata: in tal caso per ogni barattolo, indipendentemente da tutti gli altri, il peso puo’ essere sbagliato con probabilita’ 0,20. Su 20 barattoli confezionati, qual e’ allora la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
c) Supponiamo che la probabilita’ che si verifichi il calo di tensione sia 0,05. Senza sapere se il calo di tensione si e’ verificato o meno, su 20 barattoli confezionati qual e’ la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
d) Se su 20 barattoli confezionati ne troviamo esattamente 2 con il peso sbagliato, qual e’ la probabilita’ che la macchina sia starata?
Probabile soluzione:
a) tipico esempio di prova ripetuta, distribuzione binomiale di parametri n=20 e p = 0.02; per cui il valore cercato è:
[tex]P_{20} (2)\ = \ \begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix}\cdot 0.02^2 \cdot 0.98^{18} \ =\ 0.0528[/tex]
b) come in a) solo che questa volta [tex]p\ =\ 0.20[/tex], per cui:
[tex]P_{20} (2)\ = \ \begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix}\cdot 0.20^2 \cdot 0.80^{18} \ =\ 0.137[/tex]
fino a qui tutte le mie "certezze", dopo ...
c) T = 'Macchina starata', [tex]P(T)=0.05[/tex]. A = 'Esattamente 2 barattoli hanno un peso sbagliato', [tex]P(A)=0.137[/tex]
La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(A|\bar{T})[/tex] ?
d) La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(T|A})[/tex] ?
Una macchina inscatola pomodoro in barattoli da 0, 5 Kg. Per ogni barattolo, indipendentemente da tutti gli altri, il peso puo’ essere sbagliato con probabilita’ 0, 02.
a) Su 20 barattoli confezionati, qual e’ la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
b) A volte durante la notte si verfica un brusco calo di tensione e la mattina dopo la macchina e’ starata: in tal caso per ogni barattolo, indipendentemente da tutti gli altri, il peso puo’ essere sbagliato con probabilita’ 0,20. Su 20 barattoli confezionati, qual e’ allora la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
c) Supponiamo che la probabilita’ che si verifichi il calo di tensione sia 0,05. Senza sapere se il calo di tensione si e’ verificato o meno, su 20 barattoli confezionati qual e’ la probabilita’ che il peso di esattamente 2 barattoli sia sbagliato?
d) Se su 20 barattoli confezionati ne troviamo esattamente 2 con il peso sbagliato, qual e’ la probabilita’ che la macchina sia starata?
Probabile soluzione:
a) tipico esempio di prova ripetuta, distribuzione binomiale di parametri n=20 e p = 0.02; per cui il valore cercato è:
[tex]P_{20} (2)\ = \ \begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix}\cdot 0.02^2 \cdot 0.98^{18} \ =\ 0.0528[/tex]
b) come in a) solo che questa volta [tex]p\ =\ 0.20[/tex], per cui:
[tex]P_{20} (2)\ = \ \begin{pmatrix}20\\2\end{pmatrix}\cdot 0.20^2 \cdot 0.80^{18} \ =\ 0.137[/tex]
fino a qui tutte le mie "certezze", dopo ...
c) T = 'Macchina starata', [tex]P(T)=0.05[/tex]. A = 'Esattamente 2 barattoli hanno un peso sbagliato', [tex]P(A)=0.137[/tex]
La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(A|\bar{T})[/tex] ?
d) La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(T|A})[/tex] ?
Risposte
"johnnydsg":
c) T = 'Macchina starata', [tex]P(T)=0.05[/tex]. A = 'Esattamente 2 barattoli hanno un peso sbagliato', [tex]P(A)=0.137[/tex]
La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(A|\bar{T})[/tex] ?
d) La risposta è forse nel calcolo di [tex]P(T|A})[/tex] ?
a) e b) vanno bene
c) teorema delle probabilità totali
d) esatto, quindi teorema di Bayes
Quindi per la c) dovrei calcolare la seguente?
[tex]P(A)=P(T) \cdot P(A|T)+P(\bar{T}) \cdot P(A|\bar{T})[/tex]
Ma P(A) non lo conosco gia?
[tex]P(A)=P(T) \cdot P(A|T)+P(\bar{T}) \cdot P(A|\bar{T})[/tex]
Ma P(A) non lo conosco gia?
Ho capito! 
Ciò che io ho intertretato con [tex]P(A)[/tex], in realtà è [tex]P(A|T)[/tex] e la probabilità calcolata in a) rappresenta invece [tex]P(A|\bar{T})[/tex].
Quindi il calcolo è:
[tex]P(A) = 0.05 \cdot 0.137\ +\ 0.95 \cdot 0.0528\ =\ 0.05701[/tex]
Giusto?
mentre per d)
[tex]P(T|A)=\frac {P(T) \cdot P(A|T)} {P(A)} = \frac {0.05 \cdot 0.137}{0.05701}=0.120[/tex]
Ciò che io ho intertretato con [tex]P(A)[/tex], in realtà è [tex]P(A|T)[/tex] e la probabilità calcolata in a) rappresenta invece [tex]P(A|\bar{T})[/tex].
Quindi il calcolo è:
[tex]P(A) = 0.05 \cdot 0.137\ +\ 0.95 \cdot 0.0528\ =\ 0.05701[/tex]
Giusto?
mentre per d)
[tex]P(T|A)=\frac {P(T) \cdot P(A|T)} {P(A)} = \frac {0.05 \cdot 0.137}{0.05701}=0.120[/tex]
Non ho controllato i conti ma il ragionamento è corretto.
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