Log-verosimiglianza normalizzata e le riparametrizzazioni

[valentinax89]

Ho dei dubbi per quanto riguarda la log-verosimiglianza normalizzata e le riparametrizzazioni:

Primo:

Si supponga che la durata di vita di una batteria segua una distribuzione esponenziale con media $1/lambda$ con $lambda >0$
Sia $y = (3,6,6,2.3,7,4.6,3.8,5.5,11,6.8)$ un campione casuale semplice di osservazioni espresse in mesi.

1) Si scriva la funzione di log-verosimiglianza

...e per questa non ho problemi -> $10ln(lambda)-lambda10(\bary)$

2) Si tracci il grafico della log-verosimiglianza normalizzata con i dati osservati. Con gli stessi dati, si ottenga l'approssimazione parabolica della log-verosimiglianza normalizzata e se ne tracci il grafico:

Qui iniziano i miei dubbi ...

Questo è il mio ragionamento: dalla teoria sono a conoscenza che $l(theta)-l(\hattheta) = 1/2j(\hattheta)(theta-\hattheta)^2 + ...$ . Prima di tutto devo trovare la log verosimiglianza normalizzata :

$\hatlambda = 10/55 = 0,18$
$l(\hatlambda) = 10ln(0.18) - 0.18*55 = -27.04$

E qui onestamente mi blocco...come faccio a trovare la log-verosimiglianza normalizzata se non ho il vero valore dl paramentro e disegnarla?

Guardando al teoria vedo che è una parabola con vertice nel punto di massima verosiglianza ho visto anche che l'ampiezza è data dall'informazione osservata...ma come faccio a disegnarla non avevo i valori?

Secondo:

Si consideri la trasformazione $\psi = psi(lambda) = F(1;lambda)$ dove $F(y,lambda) $ndica la funzione di ripartizione di un esponenziale con media $1/lambda$. Si verifichi se essa costituisce una riparametrizzazione.

Allora ho letto la teoria, la proprietà di invarianza ecc., ma onestamente non capisco cosa devo sostituire alla funzione di ripartizione esponenziale:

Farei così:

$F(y,lambda) = 1 -exp(-lambday)$ $psi = 1/ lambda$ $lambda = 1/ psi$

$F(y,lambda) = 1 -exp(-lambda1/ psi)$

Secondo me è completamente sbagliato ...Potete aiutarmi sono disperata grazie!!!!!!