Log-normale
il prodotto tra log-normali è log-normale?
ed il rapporto?
ed il rapporto?
Risposte
Dipende da come sono costruite le variabili in gioco: sempre sempre magari no (ci potrebbe essere qualche controesempio) quasi sempre si.
Se ad esempio $L_1=e^{X_1}$ ed $L_2=e^{X_2}$ dove $(X_1,X_2)$ è un vettore gaussiano allora divisione e prodotto sono lognormali.
Se ad esempio $L_1=e^{X_1}$ ed $L_2=e^{X_2}$ dove $(X_1,X_2)$ è un vettore gaussiano allora divisione e prodotto sono lognormali.
"DajeForte":
Dipende da come sono costruite le variabili in gioco: sempre sempre magari no (ci potrebbe essere qualche controesempio) quasi sempre si.
Cioè da cosa dipende?
sono due variabili lognormali di parametri $mu_1$ $sigma_1$ e $mu_2$ $sigma_2$
che tra l'altro nel caso di specie sono addirittura uguali.
Il punto era, assumo che la variabile logrendimento $ln(P_t / P_(t-1))$ è normale
quindi io ero certo che il prezzo $P_t$ doveva essere per forza log-normale
però dalla definizione di log-normalità doveva venir fuiri che
$P_t / P_(t-1)$
era log-normale.
Il fatto di sapere che il rapporto tra log-normali è log-normale dava coerenza a tutto, ma non l'ho trovato scritto a chiare lettere da nessuna parte.
Alla luce di quello che hai detto direi che torna tutto.
O no?
Be dovresti vedere bene la questione...anche perchè non ho capito bene cosa haiscritto.
Se comunque hai ${P_i}_{i=0,...,N}$
chiami $L_i= \log((P_i)/(P_{i-1}))$ per $i=1,...,N$
allora $P_i \ = \ P_0 * \exp{sum_{j=1}^i L_j}$.
Supponi che le variabili $L_i$ cosituiscano un vettore gaussiano,
Siccome le $L$ sono joint gaussiane $sum_{j=1}^i L_j$ è normale; pertanto se $P_0$ è costante, $P_i$ è lognormale.
O meglio $(P_i)/(P_0)$ è log-N ma comuque...
Controlla se fila.
Se comunque hai ${P_i}_{i=0,...,N}$
chiami $L_i= \log((P_i)/(P_{i-1}))$ per $i=1,...,N$
allora $P_i \ = \ P_0 * \exp{sum_{j=1}^i L_j}$.
Supponi che le variabili $L_i$ cosituiscano un vettore gaussiano,
Siccome le $L$ sono joint gaussiane $sum_{j=1}^i L_j$ è normale; pertanto se $P_0$ è costante, $P_i$ è lognormale.
O meglio $(P_i)/(P_0)$ è log-N ma comuque...
Controlla se fila.
Quello che dici mi torna.
tra l'altro mi pare di ver capito che non solo $P_i/P_0$
ma in generale $P_i/P_(i-1)$ sono log-normali
Io comunque volevo soltanto dire che se
- i log-rendimenti sono normali (assunzione)
-allora i prezzi sono log-normali (conseguenza su cui non avevo dubbi)
-allora i rapporti tra prezzi (fattori di montante) sono log-normali (conseguenza su cui volevo conferme)
ma visto che poni tante cautele
mi spiegheresti quando tutto ciò è falso?
tra l'altro mi pare di ver capito che non solo $P_i/P_0$
ma in generale $P_i/P_(i-1)$ sono log-normali
Io comunque volevo soltanto dire che se
- i log-rendimenti sono normali (assunzione)
-allora i prezzi sono log-normali (conseguenza su cui non avevo dubbi)
-allora i rapporti tra prezzi (fattori di montante) sono log-normali (conseguenza su cui volevo conferme)
ma visto che poni tante cautele
mi spiegheresti quando tutto ciò è falso?
$(P_i)/(P_j) = exp{log{(P_i)/(P_j)}} = exp{log{(P_i)/(P_{i-1} )(P_{i-1})/(P_{i-2} )...(P_{j+1})/(P_{j} )}}= $
$=exp{log((P_i)/(P_{i-1} ))+log((P_{i-1})/(P_{i-2} ))+...+log((P_{j+1})/(P_{j} ))}= exp{L_i+L_{i-1}+...+L{j+1}}$
Quindi è log normale. (controlla gli indici)
I problemi sorgono se il vettore delle L non è gaussiano.
Prendi Z normale e poni X=Z e Y=-Z
e chiaro che sia $L_1=e^X$ che $L_2=e^Y$ sono lognormali.
ma $L_1 L_2 = e^{X+Y}=e^{Z-Z}=1$ che non è lognormale. Questo perchè il vettore (X,Y)=(Z,-Z) non è un vettore gaussiano.
$=exp{log((P_i)/(P_{i-1} ))+log((P_{i-1})/(P_{i-2} ))+...+log((P_{j+1})/(P_{j} ))}= exp{L_i+L_{i-1}+...+L{j+1}}$
Quindi è log normale. (controlla gli indici)
I problemi sorgono se il vettore delle L non è gaussiano.
Prendi Z normale e poni X=Z e Y=-Z
e chiaro che sia $L_1=e^X$ che $L_2=e^Y$ sono lognormali.
ma $L_1 L_2 = e^{X+Y}=e^{Z-Z}=1$ che non è lognormale. Questo perchè il vettore (X,Y)=(Z,-Z) non è un vettore gaussiano.
"DajeForte":
Prendi Z normale e poni X=Z e Y=-Z
e chiaro che sia $L_1=e^X$ che $L_2=e^Y$ sono lognormali.
ma $L_1 L_2 = e^{X+Y}=e^{Z-Z}=1$ che non è lognormale. Questo perchè il vettore (X,Y)=(Z,-Z) non è un vettore gaussiano.
ma noi a questo punto dovremmo fare
non il prodotto ma il rapporto quindi
$L_1 / L_2 = e^{X-Y}$ ma poco cambia basta porre (X,Y)=(Z,Z) per ottenere 1 che non è una v.a. ma una costante,
ma (a parte che è un caso limite) perchè dici che sti vettori non sono gaussiani? Non basta che le componenti siano gaussiane?
"markowitz":
ma (a parte che è un caso limite) perchè dici che sti vettori non sono gaussiani? Non basta che le componenti siano gaussiane?
No
guarda qua per una definizione
http://en.wikipedia.org/wiki/Multivaria ... stribution
Se ci pensi prendi il caso (Z,Z), questa variabile nel piano, si distribuisce lungo la retta y=x,
se prendi un quadrato che non contiene pezzi di quella retta la probabilità che la doppia sia la è 0.
Quindi non c'è una distribuzione che si disperde su tutto $RR^2$;
chiaro
si ma se il problema è cosa succede quandi c'è perfetta correlazione o cosa capita attraverso trasformazioni bizzarre
che magari attraverso funzioni non derivabili o magari neppure continue, per me sono
cavilli matematici di cui non mi interessa molto. Restiamo al caso generale, se preferisci diciamo che il vettore in esame
(per me serie storica dei log-rendimenti ) è gaussiano.
Quello che mi interessa è di poter dire che
$P_t / P_(t-1) = (1+R_t)$ è lognormale per ogni t (salvo casi patologici appunto)
da cui posso dire che $(1+R_t)^k$ è anche log-normale
o no? (direi di si)
dato per vero quello che o detto fino ad ora
risulterebbe inoltre che (vedi wiki)
$(1+R_t)$ ha media $exp(mu + (sigma^2)/2)$ e varianza $exp(2 mu + sigma^2) exp(sigma^2 -1)$
dove i parametri sono quelli che caratterizzavano il log-rendimento $ln(P_t / P_(t-1))$ che è gaussiano per ipotesi
è dunque vero che $(1+R_t)^k$ ha media $k exp(mu + (sigma^2)/2)$ e varianza $ k exp(2 mu + sigma^2) exp(sigma^2 -1)$ ???
o no
che magari attraverso funzioni non derivabili o magari neppure continue, per me sono
cavilli matematici di cui non mi interessa molto. Restiamo al caso generale, se preferisci diciamo che il vettore in esame
(per me serie storica dei log-rendimenti ) è gaussiano.
Quello che mi interessa è di poter dire che
$P_t / P_(t-1) = (1+R_t)$ è lognormale per ogni t (salvo casi patologici appunto)
da cui posso dire che $(1+R_t)^k$ è anche log-normale
o no? (direi di si)
dato per vero quello che o detto fino ad ora
risulterebbe inoltre che (vedi wiki)
$(1+R_t)$ ha media $exp(mu + (sigma^2)/2)$ e varianza $exp(2 mu + sigma^2) exp(sigma^2 -1)$
dove i parametri sono quelli che caratterizzavano il log-rendimento $ln(P_t / P_(t-1))$ che è gaussiano per ipotesi
è dunque vero che $(1+R_t)^k$ ha media $k exp(mu + (sigma^2)/2)$ e varianza $ k exp(2 mu + sigma^2) exp(sigma^2 -1)$ ???
o no
non mi pare.
Se $X sim N(mu,s^2)$
$(1+R) sim e^X$
$(1+R)^k sim e^{kX} = e^Y$
con $Y=kX$ che è normale con media $k mu$ e varianza $k^2 s^2$
Se $X sim N(mu,s^2)$
$(1+R) sim e^X$
$(1+R)^k sim e^{kX} = e^Y$
con $Y=kX$ che è normale con media $k mu$ e varianza $k^2 s^2$
OK
ma se $(1+R)$ e $(1+R)^k$ sono log-normali allora
$R$ ed $R_k = (1+R)^k-1$ seguono una distribuzione nota? O comunque sulla quale possiamo dir qualcosa senza troppa dificoltà?
Sembrebbero solo log-normali traslate.
Per i rispettivi momenti direi che la media è quella di prima -1
mentre la varianza è uguale a prima.
Si sono proprietà vere a prescindere dalla distribuzione.
ma se $(1+R)$ e $(1+R)^k$ sono log-normali allora
$R$ ed $R_k = (1+R)^k-1$ seguono una distribuzione nota? O comunque sulla quale possiamo dir qualcosa senza troppa dificoltà?
Sembrebbero solo log-normali traslate.
Per i rispettivi momenti direi che la media è quella di prima -1
mentre la varianza è uguale a prima.
Si sono proprietà vere a prescindere dalla distribuzione.
provo ad andare avanti coi problemi. (oramai sono quasi certo non finiranno mai ......)
Cambiamo leggermente ottica e facciamoc caso che abbiamo calcolato la serie storica dei log-rendimenti $r_t$ dati i prezzi.
Perdetti log-rendimenti troviamo gli stimatori della distribuzione (che supponiamo normale ed i dati facciamo che confermano)
stimatore media = $m$ = media stimata dei log-rend
stimatore varianza = $s^2$ = varainza stimata dei log-rend
adesso voglio passare ai rendimenti classici $R$ ma senza tornare ai dati, ovvero sfruttando gli stimatori appena trovati.
Risulta vero che $m$ e $s^2$ risultano stimatori consistenti della distibuzione lognormale di $R$ ?
Quindi se parto dai rendimenti storici (non log) e stimo i parametri della lognormale trovo, almeno asintoticamente gli
stessi valori per i parametri in gioco?
quindi poi vale
$exp(m + s^2/2)-1$ = media stimata dei rend (non log)
$exp(2 m + s^2) (exp( s^2)-1)$ = varianza stimata dei rend (non log)
o no?
e se dovesse valere mi sorgerebbe un'altro dubbio
non è forse vero che dato un un log-rend $r$ vale la relazione
$R=exp(r)-1$
che è diversa da quella di prima
quale usare?
------------
inoltre se per una relazione, l'ultima che ho scritto, vale come equivalenza tra rendimenti
una sorta di analogo per la deviazione standard esiste?
---------
c'era qualcosa da correggere nelle formule
Cambiamo leggermente ottica e facciamoc caso che abbiamo calcolato la serie storica dei log-rendimenti $r_t$ dati i prezzi.
Perdetti log-rendimenti troviamo gli stimatori della distribuzione (che supponiamo normale ed i dati facciamo che confermano)
stimatore media = $m$ = media stimata dei log-rend
stimatore varianza = $s^2$ = varainza stimata dei log-rend
adesso voglio passare ai rendimenti classici $R$ ma senza tornare ai dati, ovvero sfruttando gli stimatori appena trovati.
Risulta vero che $m$ e $s^2$ risultano stimatori consistenti della distibuzione lognormale di $R$ ?
Quindi se parto dai rendimenti storici (non log) e stimo i parametri della lognormale trovo, almeno asintoticamente gli
stessi valori per i parametri in gioco?
quindi poi vale
$exp(m + s^2/2)-1$ = media stimata dei rend (non log)
$exp(2 m + s^2) (exp( s^2)-1)$ = varianza stimata dei rend (non log)
o no?
e se dovesse valere mi sorgerebbe un'altro dubbio
non è forse vero che dato un un log-rend $r$ vale la relazione
$R=exp(r)-1$
che è diversa da quella di prima
quale usare?
------------
inoltre se per una relazione, l'ultima che ho scritto, vale come equivalenza tra rendimenti
una sorta di analogo per la deviazione standard esiste?
---------
c'era qualcosa da correggere nelle formule
Ad intuito mi viene da dire che gli stimatori di massima verosimiglianza siano uguali secondo che tu proceda in una maniera o nell'altra; però per una conferma prova a calcolarli non dovrebbe essere difficile. Le domande che poni che poni sono interessanti però non ti so dare una risposta su due piedi, fai qualche prova.
Ho dato uno sguardo qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution
sono presentati gli stimatori ML, non sono ancora convito ma forse sono addirittura identici agli stimatori ML della normale.
Asintoticamente equivalenti direi di si.
Quindi le relazioni che ho scritto prima dovrebbero essere valide almeno approssimativamente.
(se sbaglio segnala)
ma al momento mi interessa maggiormente l'interpretazione concettuale di
$exp(r)-1$ Vs $exp(mu + sigma^2/2)-1$
il primo termine è la trasformazione solita in campo certo (forse centra qualcosa nell'altro caso la varianza si annullerebbe...)
inoltre è la mediana della distribuzione di $R$ ragionando di distribuzione log-normale.
il secondo sarebbe $E[R]$
Il problema pratico che devo chiarire è cosa prendere come $R$ una volta noto $r$ stimato ovvero $mu$ (che prima avevo chiamato $m$)
Avresti qualcosa da segnalarmi, anche intuizioni in libertà...
-----
ho corretto la formula su cui poi domandavi
http://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution
sono presentati gli stimatori ML, non sono ancora convito ma forse sono addirittura identici agli stimatori ML della normale.
Asintoticamente equivalenti direi di si.
Quindi le relazioni che ho scritto prima dovrebbero essere valide almeno approssimativamente.
(se sbaglio segnala)
ma al momento mi interessa maggiormente l'interpretazione concettuale di
$exp(r)-1$ Vs $exp(mu + sigma^2/2)-1$
il primo termine è la trasformazione solita in campo certo (forse centra qualcosa nell'altro caso la varianza si annullerebbe...)
inoltre è la mediana della distribuzione di $R$ ragionando di distribuzione log-normale.
il secondo sarebbe $E[R]$
Il problema pratico che devo chiarire è cosa prendere come $R$ una volta noto $r$ stimato ovvero $mu$ (che prima avevo chiamato $m$)
Avresti qualcosa da segnalarmi, anche intuizioni in libertà...
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ho corretto la formula su cui poi domandavi
Si gli stimatori mi paiono uguali, ma ricontrollali perchè non ho fatto calcoli scritti.
Per il tuo problema mi sono perso.
Allora $L=(1+R)$ è la log normale.
Quindi $E[R]=E[L]-1=\exp{me+(sigma^2)/2}-1$
Ora quindi $R$ è una lognormale traslata. Cosa sarebbe $\exp{R}-1$?
Per il tuo problema mi sono perso.
Allora $L=(1+R)$ è la log normale.
Quindi $E[R]=E[L]-1=\exp{me+(sigma^2)/2}-1$
Ora quindi $R$ è una lognormale traslata. Cosa sarebbe $\exp{R}-1$?
"DajeForte":
Cosa sarebbe $\exp{r}-1$?
(era $r$ non $R$)
sarebbe la formula per passare dal log-rendimento al rendimento classico. Matematica finanziaria standard insomma.
dove nei conti dovrei sostituire $r$ con $mu$ a sua volta stimato da $m$.
Gli stimatori ML della normale e della lo-normaloe sono effettivamente identici,
quindi si possono tranquillamente intercambiare nelle formule.
Comincio a convincermi che la trasformazione $R=exp(r)-1$ in questo contesto sia priva di senso, si deve ragionare sui valori attesi...e compare sigma...anche in Black & Schoels compare sigma per motivi similari.
quindi si possono tranquillamente intercambiare nelle formule.
Comincio a convincermi che la trasformazione $R=exp(r)-1$ in questo contesto sia priva di senso, si deve ragionare sui valori attesi...e compare sigma...anche in Black & Schoels compare sigma per motivi similari.
Credo di essere risuscito ad ottenere un quadro con una minima coerenza,
ma ho un dubbio, io stimo i $mu$ e $sigma$ ragionando di log-rendimenti
che sono interpretabili come media e varianza degli stessi e con le formule della lognormale (precedentemente scritte) trovo (con gli stessi parametri) media e varianza dei rendimenti classici.
Il punto è questo, io affronto un problema multivariato e, ragionando di log-rendimenti, stimo anche le covarianze come media dei prodotti incrociati tra i rendimenti (per semplicità il prodotto delle medie è assunto nullo). E’ la via più semplice, se non erro un’eventuale stima ML normale multivariato arriverebbe più o meno allo stesso risultato.
Il punto è che mi servirebbe un’associazione, anche euristica, tra stimatore appena descritto ed equivalente per una trasformazione a log-normale.
Qualcuno sa darmi lumi?
ma ho un dubbio, io stimo i $mu$ e $sigma$ ragionando di log-rendimenti
che sono interpretabili come media e varianza degli stessi e con le formule della lognormale (precedentemente scritte) trovo (con gli stessi parametri) media e varianza dei rendimenti classici.
Il punto è questo, io affronto un problema multivariato e, ragionando di log-rendimenti, stimo anche le covarianze come media dei prodotti incrociati tra i rendimenti (per semplicità il prodotto delle medie è assunto nullo). E’ la via più semplice, se non erro un’eventuale stima ML normale multivariato arriverebbe più o meno allo stesso risultato.
Il punto è che mi servirebbe un’associazione, anche euristica, tra stimatore appena descritto ed equivalente per una trasformazione a log-normale.
Qualcuno sa darmi lumi?
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