Lo scarabeo
Buonasera,
scrivo per chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio:
TESTO:
Nel gioco dello scarabeo, il sacchetto delle lettere contiene $130$ lettere, di cui $12 A$, $12 E$, $4 P$. Calcola la probabilità che, estraendo a caso dal sacchetto, si possa comporre la parola $APE$. Esegui il calcolo nel caso in cui a
ogni estrazione la lettera venga rimessa nel sacchetto e nel caso in cui le lettere estratte non possano essere
ripescate di nuovo. (Suggerimento. Ricorda che nel gioco dello scarabeo non ha importanza l’ordine in cui le
lettere sono estratte.).
Ho letto su internet che le estrazioni nello scarabeo sono 8.
Ho dunque ragionato utilizzando la formula base per il calcolo delle probabilità (considerando la parte senza reimmissione)
I casi possibili sono $130*129*128*...*123$.
Per quanto riguarda i favorevoli ho provato a ragionare utilizzando il principio fondamentale della combinatoria suddividendo la mia procedura in 4 fasi:
1)prendo una $A$ ($12$);
2)prendo una $P$ ($4$);
3)prendo una $E$ ($12$);
4)prendo le altre 5 tessere ($((127),(5))$).
Tuttavia così mi viene una probabilità molto più bassa di quella che il libro da come soluzione ($~=0,15$).
Potreste aiutarmi a risolverlo nella maniera corretta?
Grazie mille!
scrivo per chiedere il vostro aiuto riguardo il seguente esercizio:
TESTO:
Nel gioco dello scarabeo, il sacchetto delle lettere contiene $130$ lettere, di cui $12 A$, $12 E$, $4 P$. Calcola la probabilità che, estraendo a caso dal sacchetto, si possa comporre la parola $APE$. Esegui il calcolo nel caso in cui a
ogni estrazione la lettera venga rimessa nel sacchetto e nel caso in cui le lettere estratte non possano essere
ripescate di nuovo. (Suggerimento. Ricorda che nel gioco dello scarabeo non ha importanza l’ordine in cui le
lettere sono estratte.).
Ho letto su internet che le estrazioni nello scarabeo sono 8.
Ho dunque ragionato utilizzando la formula base per il calcolo delle probabilità (considerando la parte senza reimmissione)
I casi possibili sono $130*129*128*...*123$.
Per quanto riguarda i favorevoli ho provato a ragionare utilizzando il principio fondamentale della combinatoria suddividendo la mia procedura in 4 fasi:
1)prendo una $A$ ($12$);
2)prendo una $P$ ($4$);
3)prendo una $E$ ($12$);
4)prendo le altre 5 tessere ($((127),(5))$).
Tuttavia così mi viene una probabilità molto più bassa di quella che il libro da come soluzione ($~=0,15$).
Potreste aiutarmi a risolverlo nella maniera corretta?
Grazie mille!
Risposte
Esattamente che calcolo fai?
A prima vista ignori molte possibilità ma magari no.
Sembra più facile calcolare la probabilità di non poter comporre APE ma forse mi sbaglio.
A prima vista ignori molte possibilità ma magari no.
Sembra più facile calcolare la probabilità di non poter comporre APE ma forse mi sbaglio.
Con reinserimento ottengo circa 0,051 coi calcoli e con una simulazione.
Senza reinserimento ottengo circa 0,054 coi calcoli e con una simulazione.
Senza reinserimento ottengo circa 0,054 coi calcoli e con una simulazione.
Ho usato inclusione-esclusione, per la cronaca.
Ciao Ghira, grazie per l'aiuto!
Mi potresti scrivere esplicitamente che calcolo hai fatto perchè non sono sicuro di aver capito bene?
Per quanto riguarda il mio metodo ho ragionato pensando che i casi favorevoli erano tutti quelli in cui avevo almeno una A, una P e una E tra le tessere estratte più tutte le altre (che possono anche essere le altre A,P ed E presenti nel sacchetto), quindi ho usato il principio fondamentale scegliendo prima quelle tessere e usando poi il coefficiente binomiale per trovare tutte le altre possibili opzioni estraibili per completare la mano di gioco.
Quindi esplicitamente il mio calcolo viene:
$P=C_f/C_p=(12*4*12*((127),(5)))/(\prod_{i=0}^7 (130-i))$.
Questo chiaramente senza reimmissione.
Potresti aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Grazie mille!
Mi potresti scrivere esplicitamente che calcolo hai fatto perchè non sono sicuro di aver capito bene?
Per quanto riguarda il mio metodo ho ragionato pensando che i casi favorevoli erano tutti quelli in cui avevo almeno una A, una P e una E tra le tessere estratte più tutte le altre (che possono anche essere le altre A,P ed E presenti nel sacchetto), quindi ho usato il principio fondamentale scegliendo prima quelle tessere e usando poi il coefficiente binomiale per trovare tutte le altre possibili opzioni estraibili per completare la mano di gioco.
Quindi esplicitamente il mio calcolo viene:
$P=C_f/C_p=(12*4*12*((127),(5)))/(\prod_{i=0}^7 (130-i))$.
Questo chiaramente senza reimmissione.
Potresti aiutarmi a capire dove ho sbagliato?
Grazie mille!
Non rischi di contare le stesse combinazioni più volte?
Per esempio "la prima A come prima lettera e la seconda A come "una delle altre cinque"" e "la seconda A come prima lettera e la prima A come "una delle altre cinque""
Per esempio "la prima A come prima lettera e la seconda A come "una delle altre cinque"" e "la seconda A come prima lettera e la prima A come "una delle altre cinque""
Mi sa di sì, comunque pensandoci meglio i casi possibili dovrebbero essere:
$C_p=((130),(8))$
in quanto contano solo le varie tipologie di mazzi che posso formare, mentre così do anche importanza all'ordine di estrazione...
$C_p=((130),(8))$
in quanto contano solo le varie tipologie di mazzi che posso formare, mentre così do anche importanza all'ordine di estrazione...
Se sostituisco quello nel calcolo ottengo una probabilità simile (anche se non identica) a quella proposta come soluzione (a me viene $~=1,13$ mentre il libro fornisce $0,157$).
Per quanto riguarda i $C_f$ hai ragione, forse farei meglio, come suggerivi, a calcolare la probabilità di non trovare APE.
Quindi i casi favorevoli sarebbero la somma dei casi ottenuti togliendo di volta in volta le tre lettere dal sacchetto e usando il coefficiente binomiale per trovare tutte le possibili combinazioni così ottenibili; nel calcolo:
$C_f=2*((118),(8))+((126),(8))$.
Come casi possibili utilizzerei invece:
$C_p=((130),(8))$.
Appena ho la possibilità di fare il calcolo provo e vedo se così viene...
Tu cosa ne pensi?
Grazie ancora!
Quindi i casi favorevoli sarebbero la somma dei casi ottenuti togliendo di volta in volta le tre lettere dal sacchetto e usando il coefficiente binomiale per trovare tutte le possibili combinazioni così ottenibili; nel calcolo:
$C_f=2*((118),(8))+((126),(8))$.
Come casi possibili utilizzerei invece:
$C_p=((130),(8))$.
Appena ho la possibilità di fare il calcolo provo e vedo se così viene...
Tu cosa ne pensi?
Grazie ancora!
Simulazione con reimmissione:
e se lo faccio girare per un po':
0.0510432746444738
Simulazione senza reimmissione:
e facendo andare la cosa per un po':
0.0546231279473493
Valori molto lontani dalle risposte "ufficiali". Hmm.
#!/usr/bin/perl
while (1) {
$a=0;
$e=0;
$p=0;
$t++;
for (1..8) {
$r=int(rand(130))+1;
if ($r<=12) {
$a=1;
next;
}
if (($r>12) && ($r<=24)) {
$e=1;
next;
}
if (($r>24) && ($r<=28)) {
$p=1;
next;
}
}
if ($a+$e+$p==3) {
$s++;
}
$m=$s/$t;
print "$m\n";
}
e se lo faccio girare per un po':
0.0510432746444738
Simulazione senza reimmissione:
#!/usr/bin/perl
while (1) {
$a=0;
$e=0;
$p=0;
$t++;
@seen=();
for (1..8) {
do {
$r=int(rand(130))+1;
} until ($seen[$r]==0);
$seen[$r]=1;
if ($r<=12) {
$a=1;
next;
}
if (($r>12) && ($r<=24)) {
$e=1;
next;
}
if (($r>24) && ($r<=28)) {
$p=1;
next;
}
}
if ($a+$e+$p==3) {
$s++;
}
$m=$s/$t;
print "$m\n";
}
e facendo andare la cosa per un po':
0.0546231279473493
Valori molto lontani dalle risposte "ufficiali". Hmm.
"mau21":
Tu cosa ne pensi?
Secondo me vogliono che tu usi l'inclusione-esclusione.
Grazie ma veramente io intendevo i calcoli matematici, non ho mai fatto informatica per cui non capisco niente leggendo il codice della simulazione...
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"mau21":
$C_f=2*((118),(8))+((126),(8))$.
Ma non è così semplice. Potresti avere varie A e E ma nessuna P. O 8 A. O 8 E.
L'inclusione-esclusione sembra la via più semplice. Anzi, l'esercizio puzza di "Ecco un problema dove l'inclusione-esclusione è utile."
"mau21":
Grazie ma veramente io intendevo i calcoli matematici, non ho mai fatto informatica per cui non capisco niente leggendo il codice della simulazione...
Grazie ancora!
Ho fatto anche i calcoli matematici, ma visto che i risultati non erano 0,149 ho deciso di fare anche le simulazioni per vedere cosa succedeva. E uscivano gli stessi valori che ho ottenuto con i calcoli.
Più tardi magari metto i miei calcoli. Ma ho già detto "inclusione-esclusione" più volte. Insomma.
Per quanto riguarda il principio di inclusione-esclusione non l'avevo mai sentito nominare, ho letto su internet cos'è ma io so conosco solo la formula dell'intersezione di due insiemi, la formula generalizzata a $n$ insiemi (come penso tre in questo caso) non l'avevo mai vista...
Comunque, i miei due calcoli cominciano così:
$P(A \cap E \cap P)=1-P(\bar A cup \bar E \cup \bar P)=1-P(\bar A)-P(\bar E)-P(\bar P)+P(\bar A \cap \bar E)+P(\bar A \cap \bar P)+P(\bar E \cap \bar P)-P(\bar A \cap \bar E \cap \bar P)=$
Tutti i termini qui sono relativamente facili da calcolare.
$P(A \cap E \cap P)=1-P(\bar A cup \bar E \cup \bar P)=1-P(\bar A)-P(\bar E)-P(\bar P)+P(\bar A \cap \bar E)+P(\bar A \cap \bar P)+P(\bar E \cap \bar P)-P(\bar A \cap \bar E \cap \bar P)=$
Tutti i termini qui sono relativamente facili da calcolare.
Ti ringrazio tanto per l'aiuto però ti confermo che questa formula non l'avevo mai vista per cui non avrei mai potuto fare questo calcolo...
Per quanto riguarda il coefficente binomiale probabilmente mi sbaglio ma in teoria non sono compresi anche i casi degeneri che mi hai segnalato?
Nel senso, se io tolgo le 4 P ottengo un sottoinsieme di 126 elementi con 12A,12E e gli altri elementi, di questo sottoinsieme calcolo il numero di sottoinsiemi di 8 elementi ($((126),(8))$) che comprende anche quelli con tutte A e/o tutte E, essendo elementi distinti di quell'insieme e quindi un possibile sottoinsieme.
Poi itero questo procedimento togliendo prima le A e poi le E (rimettendo dentro le altre), così però il coefficente binomiale è lo stesso (perchè sono presenti in egual numero) e quindi l'ho moltiplicato per due.
Sommando tutte queste casistiche ottengo tutte le possibiltà (inclusi i casi degeneri).
Poi comunque provo a fare i calcoli e ti tengo informato.
Grazie ancora!
Per quanto riguarda il coefficente binomiale probabilmente mi sbaglio ma in teoria non sono compresi anche i casi degeneri che mi hai segnalato?
Nel senso, se io tolgo le 4 P ottengo un sottoinsieme di 126 elementi con 12A,12E e gli altri elementi, di questo sottoinsieme calcolo il numero di sottoinsiemi di 8 elementi ($((126),(8))$) che comprende anche quelli con tutte A e/o tutte E, essendo elementi distinti di quell'insieme e quindi un possibile sottoinsieme.
Poi itero questo procedimento togliendo prima le A e poi le E (rimettendo dentro le altre), così però il coefficente binomiale è lo stesso (perchè sono presenti in egual numero) e quindi l'ho moltiplicato per due.
Sommando tutte queste casistiche ottengo tutte le possibiltà (inclusi i casi degeneri).
Poi comunque provo a fare i calcoli e ti tengo informato.
Grazie ancora!
"mau21":
Nel senso, se io tolgo le 4 P ottengo un sottoinsieme di 126 elementi con 8A,8E e gli altri elementi, di questo sottoinsieme calcolo il numero di sottoinsiemi di 8 elementi ($((126),(8))$) che comprende anche quello con tutte A e tutte E, essendo elementi distinti di quell'insieme e quindi un possibile sottoinsieme.
Ma così conti "OOOOOOOO" tre volte, una volta come non-A, una come non-E, una come non-P.
Conti "AOOOOOOO" due volte, una volta come non-E, una come non-P. E così via.
Conti AAAAAAAA due volte, EEEEEEEE due volte, ...
Hai ragione, grazie ancora!
Ciao, mi permetto di entrare nella conversazione. Come diceva ghira all'inizio forse calcolare l'evento contrario non è cosi' una brutta idea. Propongo un'idea nel caso senza reinserimento.
Calcoliamo la probabilità dell'evento contrario, ovvero che non hai mai pescato APE nelle 8 estrazioni. Allora devi considerare 3 casi (che sono eventi disgiunti)
1. il caso in cui non hai pescato una lettera (o la A o la P o la E)
2. il caso in cui non hai pescato due lettere (AP, AE, PE).
3. il caso in cui non hai pescato nessuna delle tre lettere.
Il caso 3. è il più semplice ed è $(((102),(8)))/(((130),(8)))$. Ti lascio provare a scrivere gli altri. Ammetto che per fare i calcoli ho scritto un programma per farmeli
In ogni caso ritrovo che la probabilità di poter scrivere APE è 0.054 come trovato già da ghira.
Calcoliamo la probabilità dell'evento contrario, ovvero che non hai mai pescato APE nelle 8 estrazioni. Allora devi considerare 3 casi (che sono eventi disgiunti)
1. il caso in cui non hai pescato una lettera (o la A o la P o la E)
2. il caso in cui non hai pescato due lettere (AP, AE, PE).
3. il caso in cui non hai pescato nessuna delle tre lettere.
Il caso 3. è il più semplice ed è $(((102),(8)))/(((130),(8)))$. Ti lascio provare a scrivere gli altri. Ammetto che per fare i calcoli ho scritto un programma per farmeli
In ogni caso ritrovo che la probabilità di poter scrivere APE è 0.054 come trovato già da ghira.
"mau21":
Se sostituisco quello nel calcolo ottengo una probabilità simile (anche se non identica) a quella proposta come soluzione (a me viene $~=1,13$ mentre il libro fornisce $0,157$).
1,13 è chiaramente impossibile, no? E in che senso 1,13 e 0,157 sono simili??
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