Lo chiamano "Metodo dei momenti"
Ragazzi ho da sottoporvi un altro quesito sul c.d. Metodo dei momenti sul qualse sfogliando tra vari libri o in internet ho trovato solo roba "vaga" e che non calza molto con il mio esercizio. Ecco il testo.
Data la seguente distribuzione di probabilità:
Stimare con il metodo dei momenti il parametro TETA incognito sulla base della seguente realizzazione campionaria:
2, 2, 4, 6, 6, 3, 1.
fatemi sapere grazie in aticipo ciao a tutti!
Data la seguente distribuzione di probabilità:
Stimare con il metodo dei momenti il parametro TETA incognito sulla base della seguente realizzazione campionaria:
2, 2, 4, 6, 6, 3, 1.
fatemi sapere grazie in aticipo ciao a tutti!
Risposte
In pratica il problema ti chiede di stimare di quanto è truccato il dado in base alla realizzazione campionaria.
Il valore atteso della tua variabile aleatoria è:
$mu=sum_(x=1)^(6)p(x;theta)cdotx=(1-theta)/6 cdot(2+4+6)+(1+theta)/6 cdot (1+3+5)=(21-3theta)/6$
La media della realizzazione campionaria è:
$barx=(2+2+4+6+6+3+1)/7=24/7$
Uguagliando il valore atteso (momento primo) e la media campionaria (da cui "metodo dei momenti"), risulta:
$mu=barx rArr (21-3theta)/6=24/7 rArr theta=1/7$
Con questo valore risulta $p(2)=p(4)=p(6)=6/42$ e $p(1)=p(3)=p(5)=8/42$
Ciò è davvero inverosimile in quanto i numeri pari risulterebbero meno frequenti dei dispari, contraddicendo il risultato dell'esperimento (in cui hai 5 numeri pari su 7). Il metodo dei momenti non è adatto in questa circostanza. Fornisce risultati fasulli.
Usiamo invece il metodo della massima verosimiglianza.
La probabilità di osservare il risultato sperimentale (verosimiglianza) è:
$L(theta)=((1-theta)/6)^5((1+theta)/6)^2$
Massimizzando la verosimiglianza si ha:
$(dL)/(d theta)=((1-theta)/6)^4((1+theta)/6)[((1+theta)/6)(-5/6)+((1-theta)/6)(2/6)]=0 rArr theta=-3/7$
Con questo valore risulta $p(2)=p(4)=p(6)=10/42$ e $p(1)=p(3)=p(5)=4/42$
che risulta senz'altro coerente con l'esito dell'esperimento.
Se, al limite, dall'esperimento risultavano solo numeri pari, avremmo concluso $theta=-1$, ovvero $p(2)=p(4)=p(6)=1/3$ e $p(1)=p(3)=p(5)=0$
$theta$ è una misura di quanto il dado è truccato ($-1<=theta<=1$)
Se $theta=0$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=p(1)=p(3)=p(5)=1/6$ (dado non truccato)
Se $theta=-1$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=1/3$ e $p(1)=p(3)=p(5)=0$ (dado truccato "al massimo" a favore dei numeri pari)
Se $theta=1$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=0$ e $p(1)=p(3)=p(5)=1/3$ (dado truccato "al massimo" a favore dei numeri dispari)
Il valore atteso della tua variabile aleatoria è:
$mu=sum_(x=1)^(6)p(x;theta)cdotx=(1-theta)/6 cdot(2+4+6)+(1+theta)/6 cdot (1+3+5)=(21-3theta)/6$
La media della realizzazione campionaria è:
$barx=(2+2+4+6+6+3+1)/7=24/7$
Uguagliando il valore atteso (momento primo) e la media campionaria (da cui "metodo dei momenti"), risulta:
$mu=barx rArr (21-3theta)/6=24/7 rArr theta=1/7$
Con questo valore risulta $p(2)=p(4)=p(6)=6/42$ e $p(1)=p(3)=p(5)=8/42$
Ciò è davvero inverosimile in quanto i numeri pari risulterebbero meno frequenti dei dispari, contraddicendo il risultato dell'esperimento (in cui hai 5 numeri pari su 7). Il metodo dei momenti non è adatto in questa circostanza. Fornisce risultati fasulli.
Usiamo invece il metodo della massima verosimiglianza.
La probabilità di osservare il risultato sperimentale (verosimiglianza) è:
$L(theta)=((1-theta)/6)^5((1+theta)/6)^2$
Massimizzando la verosimiglianza si ha:
$(dL)/(d theta)=((1-theta)/6)^4((1+theta)/6)[((1+theta)/6)(-5/6)+((1-theta)/6)(2/6)]=0 rArr theta=-3/7$
Con questo valore risulta $p(2)=p(4)=p(6)=10/42$ e $p(1)=p(3)=p(5)=4/42$
che risulta senz'altro coerente con l'esito dell'esperimento.
Se, al limite, dall'esperimento risultavano solo numeri pari, avremmo concluso $theta=-1$, ovvero $p(2)=p(4)=p(6)=1/3$ e $p(1)=p(3)=p(5)=0$
$theta$ è una misura di quanto il dado è truccato ($-1<=theta<=1$)
Se $theta=0$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=p(1)=p(3)=p(5)=1/6$ (dado non truccato)
Se $theta=-1$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=1/3$ e $p(1)=p(3)=p(5)=0$ (dado truccato "al massimo" a favore dei numeri pari)
Se $theta=1$ allora $p(2)=p(4)=p(6)=0$ e $p(1)=p(3)=p(5)=1/3$ (dado truccato "al massimo" a favore dei numeri dispari)
Grazie mille, tutto chiaro!!! ero arrivato al calkcolo della media attesa e di quella campionaria ma nn ricordavo poi di doverle eguagliare!!!! grazie. ciao!
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