Livello medio assideramento - Erto
Salve a tutti cerco aiuto su questo problema capitatomi alla prova scritta :
Dedichiamo il tempo t alla ricerca di un disperso in mare la cui probabilità di ritrovamento e data dalla funzione $ P (t)=1-e^(- lambda t)$
Sappiamo che il livello di assideramento varia con la legge $ A (t)= kt^2 $
Calcola il livello medio di assideramento al momento del ritrovamento.
Potete aiutarmi grazie
Dedichiamo il tempo t alla ricerca di un disperso in mare la cui probabilità di ritrovamento e data dalla funzione $ P (t)=1-e^(- lambda t)$
Sappiamo che il livello di assideramento varia con la legge $ A (t)= kt^2 $
Calcola il livello medio di assideramento al momento del ritrovamento.
Potete aiutarmi grazie
Risposte
Nessun suggerimento?
ciao,
come hai iniziato a modellare tale problema, cosa hai pensato per calcolare il livello medio secondo i dati a disposizione?
mostra i tuoi dubbi senza problemi e ti si aiuterà di conseguenza.
come hai iniziato a modellare tale problema, cosa hai pensato per calcolare il livello medio secondo i dati a disposizione?
mostra i tuoi dubbi senza problemi e ti si aiuterà di conseguenza.
Ho pensato che poiché la probabilità di ritrovamento e un esponenziale avrà media $1/lambda $ e sostituire questo valore nella formula Dell assideramento
Nessun suggerimento?
"elo211290":
Salve a tutti cerco aiuto su questo problema capitatomi alla prova scritta :
Dedichiamo il tempo t alla ricerca di un disperso in mare la cui probabilità di ritrovamento e data dalla funzione $ P (t)=1-e^(- lambda t)$
Sappiamo che il livello di assideramento varia con la legge $ A (t)= kt^2 $
Calcola il livello medio di assideramento al momento del ritrovamento.
Potete aiutarmi grazie
probabilità di ritrovamento $P(t)$ che come dici è un'esponenziale $T$
livello assideramento di una persona segue legge $A$.
quello che dobbiamo trovare è il valore atteso condizionato, cioè il valor medio di assideramento di A sapendo il tempo di ritrovamento $T=t$
quindi $E[A|T=t]$. all'incirca un punto di partenza può esser questo.
"elo211290":
Ho pensato che poiché la probabilità di ritrovamento e un esponenziale avrà media $1/lambda $ e sostituire questo valore nella formula Dell assideramento
Attendo che in generale \(\displaystyle E(F(X))\neq F(E(X)) \). Ragiona su ciò che ha scritto hamming_burst.
@ Sergio : è deterministica penso. Comunque non devi calcolarti l'integrale \(\displaystyle k\int_{0}^{+\infty}t^2\,\mathrm{d}t \) ma un integrale diverso.
Comunque ho notato ora che \(P(t)\) non è una probabilità, quanto più la funzione di distribuzione associata alla probabilità di essere ritrovato.
"Sergio":
[quote="vict85"]@ Sergio : è deterministica penso. Comunque non devi calcolarti l'integrale \(\displaystyle k\int_{0}^{+\infty}t^2\,\mathrm{d}t \) ma un integrale diverso.
E cioè?[/quote]
È un po' come dare la risposta comunque, io direi \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} k t^2 \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t \).
"Sergio":
[quote="vict85"]Comunque ho notato ora che P(t) non è una probabilità, quanto più la funzione di distribuzione associata alla probabilità di essere ritrovato.
A me sembra la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale, ma c'è chi la chiama esponenziale negativa; insomma, quella con densità \(\lambda e^{-\lambda t}\).[/quote]
Quello che intendevo anche io, anche se non ho mai capito se esiste una differenza tra funzione di ripartizione e funzione di distribuzione comulativa o se sono due nomi per la stessa cosa.
Quindi ancora non capisco, la risposta al mio problema è?...
E se la risposta fosse : $ int_(0)^(1/lambda) t*kt^2 dt $
Alla fine una risposta al problema si è avuta?
Anche io mi sono imbattuta nello stesso quesito. Non so come ragionarci. Qualcuno mi aiuta?
$2k/lambda^2$ come giustamente scritto in un post precedente.
Fai almeno la fatica di leggere le risposte prima di porre la domanda
ciao
Fai almeno la fatica di leggere le risposte prima di porre la domanda
ciao
Sì tommik, grazie. Ma è il ragionamento che non riesco a capire.
Ciao tommik
Ti volevo chiedere (se ovviamente ti ricordi ) se hai ottenuto quel risultato svolgendo come suggerito da vict 85 (io mi trovo il tuo risultato svolgendo quell integrale)
Se fosse però vero c'è sergio che dice che non si può fare perché A (t) non è una densità
Quindi mi puoi spiegare perché tu invece hai comq fatto in wuel modo?
Scusami se ti disturbo
Ti volevo chiedere (se ovviamente ti ricordi ) se hai ottenuto quel risultato svolgendo come suggerito da vict 85 (io mi trovo il tuo risultato svolgendo quell integrale)
Se fosse però vero c'è sergio che dice che non si può fare perché A (t) non è una densità
Quindi mi puoi spiegare perché tu invece hai comq fatto in wuel modo?
Scusami se ti disturbo
@Sergio in questo caso ha preso un grosso abbaglio... può succedere a chiunque, nulla di male. $A(T)$ non è una densità ma è una funzione di $T$ di cui si chiede di calcolarne la media....La densità che serve è quella della variabile $T$...
Il problema è semplicissimo e si riduce al calcolo di una media del tipo $E[A(T)]$.
Dalla definizione di media basta fare
$E[A(T)]=int_0^(+oo)A(t)f_T(t)dt$ con $T~Exp(lambda)$
Nella traccia non ti danno $f_T(t)=lambda e^(-lambdat)$ ma la sua CDF ... fanne la derivata ed ottieni subito la densità che ti serve.
L'integrale risultante si determina anche senza fare conti utilizzando i risultati noti della Gamma di Eulero che, come hai scritto tu ieri in un altro post, dovresti aver capito.
$int_0^(+oo)kt^2lambdae^(-lambdat)dt=k/lambda^2int_0^(+oo)(lambdat)^2e^(-lambda t)d(lambdat)=k/lambda^2int_0^(+oo)y^(3-1)e^(-y)dy=k/lambda^2 Gamma(3)=(2k)/lambda ^2$
Questa funzione la utilizzerai sicuramente molto quindi è utile prenderci la mano
Ovviamente nulla vieta di calcolare la densità della legge $Z=A(T)$ e poi calcolare la media richiesta con la seguente definizione:
$E[Z]=intzf_Z(z)dz$
ma le cose si complicherebbero inutilmente.
Nessun disturbo: nel topic ci sono state molte risposte confuse, la tua è una domanda lecita.
Il problema è semplicissimo e si riduce al calcolo di una media del tipo $E[A(T)]$.
Dalla definizione di media basta fare
$E[A(T)]=int_0^(+oo)A(t)f_T(t)dt$ con $T~Exp(lambda)$
Nella traccia non ti danno $f_T(t)=lambda e^(-lambdat)$ ma la sua CDF ... fanne la derivata ed ottieni subito la densità che ti serve.
L'integrale risultante si determina anche senza fare conti utilizzando i risultati noti della Gamma di Eulero che, come hai scritto tu ieri in un altro post, dovresti aver capito.
$int_0^(+oo)kt^2lambdae^(-lambdat)dt=k/lambda^2int_0^(+oo)(lambdat)^2e^(-lambda t)d(lambdat)=k/lambda^2int_0^(+oo)y^(3-1)e^(-y)dy=k/lambda^2 Gamma(3)=(2k)/lambda ^2$
Questa funzione la utilizzerai sicuramente molto quindi è utile prenderci la mano
Ovviamente nulla vieta di calcolare la densità della legge $Z=A(T)$ e poi calcolare la media richiesta con la seguente definizione:
$E[Z]=intzf_Z(z)dz$
ma le cose si complicherebbero inutilmente.
Nessun disturbo: nel topic ci sono state molte risposte confuse, la tua è una domanda lecita.
Grazie mille volevo però sapere
Tu hai scritto $A (T) $
Quando invece la traccia parla di $A (t) $
Anche se sembra una sciocchezza in probabilità c'è una bella dufferenza tra lettere amiuscole e minuscole
In oltre per calcolsre la media è come se in realta stessi calcolando
$" l operatore speranza matematica"$
$E (varphi (T)) $
Con A (T) = $varphi (t) $
Tu hai scritto $A (T) $
Quando invece la traccia parla di $A (t) $
Anche se sembra una sciocchezza in probabilità c'è una bella dufferenza tra lettere amiuscole e minuscole
In oltre per calcolsre la media è come se in realta stessi calcolando
$" l operatore speranza matematica"$
$E (varphi (T)) $
Con A (T) = $varphi (t) $
"Ciro584":
in probabilità c'è una bella dufferenza tra lettere amiuscole e minuscole
grazie per avermelo fatto notare ....
Ma la risposta è che basterebbe leggere anche sommariamente qualunque testo elementare di Statistica per avere la risposta: $T$ indica la variabile "tempo" mentre $t$ è un determinato valore che la variabile assume nel suo dominio $RR^+$.
Io ho cercato di usare la notazione più corretta possibile, considerando anche le imprecisioni della traccia.
Nella traccia si scrive anche $P(t)=1-e^(-lambdat)$ mentre la scrittura corretta sarebbe $P_T(t)$ o meglio ancora $F_T(t)$
dove la lettera maiuscola (che indica la variabile) sta al pedice mentre $t$ (ovvero il valore che la variabile assume) sta fra parentesi....e non è una differenza da poco: $F_T(x)=1-e^(-lambdax)$ indica che la variabile è un'esponenziale negativa che può essere valutata in qualunque punto $x$ appartenente al dominio della variabile....
Se noti, io per definire la media in questione ho usato questa notazione
$E[A(T)]=int_0^(+oo)A(t)f_T(t)dt$
dove la T maiuscola indica la variabile, mentre dentro l'integrale c'è la $t$ minuscola, ovvero il singolo valore...integrato, però...ovvero "sommato" per tutti i valori $t in T$
Come potresti verificare anche da solo consultando qualunque testo "serio", la mia notazione combacia con la definizione di media di una trasformazione di variabile aleatoria:
Se dovessi aggiungere le mie di osservazioni, anche la scelta di A maiuscola per indicare una trasformazione è un po' infelice...la lettera maiuscola in Matematica si usa per le funzioni integrali....non è un obbligo ma una buona consuetudine...come pure indicare $P$ la CDF di una variabile continua è poco felice....il canone dice di usare $F_T(t)=P[T<=t]$.Il testo, usando la notazione $P(t)$ sembra che abbia fatto un miscuglio delle due notazioni....
Probabilmente se invece di prendere gli esercizi da appunti sparsi li prendessi da un testo di riferimento non avresti questi dubbi.....poi è anche chiaro che, molte volte, per alleggerire la scrittura, si usano delle notazioni semplificate anche (purtroppo) a scapito della correttezza formale; l'importante è intendersi sul problema.
infine,
[xdom="tommik"]ti consiglio di lasciare i necropost sepolti dove sono[/xdom]
IL tuo discorso non fa una piega , mi trovo con tutto
Il fatto è che se mi imbatto in un esercizio che mi interessa preferisco nin pubblicarlo nuovamente, ma di riprendere il vecchio
Il fatto è che se mi imbatto in un esercizio che mi interessa preferisco nin pubblicarlo nuovamente, ma di riprendere il vecchio
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