Linearità del valor medio

[Sk_Anonymous]

Ho un dubbio su come dimostrare che $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$, cioè la linearità dell’attesa nel caso di due variabili aleatorie.
$E(aX+bY)=\sum_{(x,y)}(ax+by)*P(X=x,Y=y)=a*\sum_{(x,y)}x*P(X=x,Y=y)+b*\sum_{(x,y)}y*P(X=x,Y=y)=a*sum_{x}x*P(X=x)+b*sum_{y}y*P(Y=y)=aE(X)+bE(Y)$
Non riesco a capire come, nel penultimo passaggio, le sommatorie vengono “ridotte” (cioè diventano sommatorie solo in $x$ o in $y$). Potreste aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

L'integrale è un operatore lineare,il valore atteso è per definizione l'integrale di...

[pat871]

La definizione di valore atteso di una v.a. discreta è:

$E[X] := sum_{w in Omega} p(w)X(w)$

dove $p(w) := P[{w}]$, la probabilità che il singolo evento si verifichi.

Ma se vuoi fare le cose per bene, direi, come dice Enea, di prendere la definizione "integrale" (più generale) di valore atteso:

$E[X] := int_{Omega} X(w) dP(w)$

[Sk_Anonymous]

$E{kf(X)+hg(Y)}=int_(-infty)^(+infty)int_(-infty)^(+infty)[kxf(x)+hyg(y)]*f_(XY)(x,y)*dx*dy=
$=int_(-infty)^(+infty)int_(-infty)^(+infty)kxf(x)f_(XY)(x,y)*dx*dy+int_(-infty)^(+infty)int_(-infty)^(+infty)hyg(y)*f_(XY)(x,y)*dx*dy

Ricordando che :
$f_X(x)=int_(-infty)^(+infty)f_(XY)(x,y)dy
$f_Y(y)=int_(-infty)^(+infty)f_(XY)(x,y)dx
si ottiene la tesi (a meno di qualche orrore che mi sfugge)

[Sk_Anonymous]

La definizione con l'integrale l'abbiamo solo accennata a lezione.
Non sono riuscito ancora a risolvere il dubbio nel caso dell'attesa per v.a. discrete.

[pat871]

Per le v.a. discrete, utilizzando la definizione formale di valore atteso (quella che ho ho dato io) è automatico:

$E(aX+bY) = sum_(w in Omega) p(w) (aX+bY)(w) =sum_(w in Omega) p(w) (aX(w) + bY(w)) = a*sum_(w in Omega) p(w)*X(w) + b*sum_(w in Omega) p(w)*Y(w) = aE(X) + bE(Y)$

Con l'altra definizione mi pare molto più difficile.

[Sk_Anonymous]

Ok, mi adatterò alla tua definizione
Grazie per l'aiuto.

[Fioravante Patrone1]

"matths87":
...
$a*\sum_{(x,y)}x*P(X=x,Y=y)+b*\sum_{(x,y)}y*P(X=x,Y=y)=a*sum_{x}x*P(X=x)+b*sum_{y}y*P(Y=y)$
Non riesco a capire come ... le sommatorie vengono “ridotte” (cioè diventano sommatorie solo in $x$ o in $y$). Potreste aiutarmi?

Facciamo uno sforzo per venire "a casa delle tue notazioni", allora.


Mi limito al primo addendo della formula:
$a*\sum_{(x,y)}x*P(X=x,Y=y) = a*sum_{x}x*P(X=x)$

Anzi, lasciamo perdere $a$ che dà solo fastidio.

In:
$\sum_{(x,y)}x*P(X=x,Y=y)$
hai una sommatoria estesa ad $x$ ed $y$.
Essendo una sommatoria finita, puoi decidere tu come sommare.
Fissa una $\bar x$ e fai la somma su $y$.
Dovreste esserti evidente che sommare tutte le $P(X=\bar x,Y=y)$ al variare di $y$ non è altro che $P(X=\bar x)$.
Se questo ti torna, è fatta. Poi non resta altro che far variare la $\bar x$, che abbiamo tenuto un momento ferma per comodità.

[Sk_Anonymous]

Esattamente quello che mi serviva.
Grazie per l'aiuto, avrei dovuto arrivarci da solo.