Lemma alla disuguaglianza di Markov

[Sk_Anonymous]

Mi servirebbe la dimostrazione di questo fatto: sia $X$ una variabile aleatoria e $h$ una funzione reale di variabile reale. Allora:

$P(g(X)<=a)>=(E(g(X)))/a$

Mi serve poichè da questa si ricava subito la disuguaglianza di Markov, ponendo $g$ uguale alla funzione valore assoluto.

[clrscr]

Io ho trovato questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Diseguaglianza_di_Markov
Dove si prende in considerazione una variabile $X$ non negativa.
Io ho ragionato così:
$E[X/a]=sum_(x=0)^(+oo) x/a P_X(x)=sum_(x=0)^(a-1) x/a P_X(x) + sum_(x=a)^(+oo) x/a P_X(x)$.
Ora si vede che nell'ultimo termine $x>=a$, quindi $x/a>=1$.
Da questo:
$sum_(x=0)^(a-1) x/a P_X(x) + sum_(x=a)^(+oo) x/a P_X(x)>=P[X>=a]$. Da cui la tesi.
Si tenga presente che questo è valido per V.A. NON NEGATIVE.

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio per la dimostrazione, ma a me servirebbe prima di tutto la comprensione del lemma, dato che viene usato in svariate dimostrazioni.

[clrscr]

"matths87":Mi servirebbe la dimostrazione di questo fatto: sia $X$ una variabile aleatoria e $h$ una funzione reale di variabile reale. Allora:

$P(g(X)<=a)>=(E(g(X)))/a$

Mi serve poichè da questa si ricava subito la disuguaglianza di Markov, ponendo $g$ uguale alla funzione valore assoluto.

Non hai definito la funzione $h$.
Però se la funzione $g(x)$ può assumere qualsiai valore (anche negativo) faccio difficoltà a credere che valga il lemma....Non credi?

[Sk_Anonymous]

Sono d'accordo (probabilmente non ho segnato questa cosa sugli appunti). Supponiamo allora che $g(X)$ sia una v.a. non negativa.

[violerio]

Scusami, ma la disuguaglianza di Markov afferma che la probabilità che g(X) sia maggiore o uguale a un valore a positivo, sia limitata superiormente, con limite superiore = E[g(X)]/a.
Nell'equazione che proponi tu, i segni di maggiore e minore sono invertiti.
Se metti i segni correttamente, la dimostrazione è abbastanza lineare:

E[g(X)] = integrale tra meno infinito e infinito di g(x)f(x)dx. L'integrale lo spezzi nella somma di due integrali, considerando come dominio di integrazione per il primo, i valori {x:g(X)>=a} e per il secondo {x:g(x) A questo punto, nella catena delle uguaglianze abbiamo che E[g(x)] = alla somma dei due integrali. Tale somma è certamente maggiore o uguale al primo addendo (il primo integrale) perchè il secondo addendo è certamente positivo. Inoltre, nel primo integrale la condizione che g(x)>=a, valida nell'intervallo di integrazione, ti consente di dire che l'integrale di g(x)f(x)dxè certamente >= all'integrale di a*f(x)dx. Ma l'integrale di a*f(x)dx è uguale ad a * l'integrale di f(x)dx. L'ultimo termine equivale a a*P[g(x)>=a]. In conclusione, dividendo il primo e il secondo termine per a>0, si ha che E[g(x)]/a >= P[g(x)>=a], che è quello che volevi dimostrare tu.