Legge variabili aletorie assolutamente continue
Ciao,
sono alle prese col seguente esercizio:
Sol.:
(i) Utilizzo il teorema del cambio di variabile.
Considero la $\phi(x,y)=(x,xy+1-x)$. La sua inversa si trova risolvendo il sistema
Mi risulta che $t \in [0,1]$ e $v \in [0,1]$
Trovo che $\phi^(-1)(t,v)=(t,(v+t-1)/v)$. La matrice Jacobiana $D \phi^(-1)(t,v)$ ha determinante pari in modulo a $1/t$ e per il teorema si ha $g_(X,U)=f_(X,Y)(\phi^(-1)(t,v))*1/t=1/t$ poiche' $X,Y$ sono uniformi in $[0,1]$.
(ii) Per trovare la densita' di $U$ devo integrare sull'altra variabile. Da prima ho visto che $t \in [0.1]$.
$ g_(U)(v)=intf_(X,U) dt =int_(0)^(1)1/t dt=log(t)|_{0}^{1} $
Il problema e' quel logaritmo che in $0$ non mi piace proprio per niente.
sono alle prese col seguente esercizio:
Siano $X,Y-U([0,1])$ e i.i.d. Sia inoltre $U:= XY+1-X$.
(i) Calcolare la densita' congiunta di $(X,U)$
(ii) Calcolare la densita' di $U$.
Sol.:
(i) Utilizzo il teorema del cambio di variabile.
Considero la $\phi(x,y)=(x,xy+1-x)$. La sua inversa si trova risolvendo il sistema
$ { ( x=t ),( xy+1-x=v ):} $
Mi risulta che $t \in [0,1]$ e $v \in [0,1]$
Trovo che $\phi^(-1)(t,v)=(t,(v+t-1)/v)$. La matrice Jacobiana $D \phi^(-1)(t,v)$ ha determinante pari in modulo a $1/t$ e per il teorema si ha $g_(X,U)=f_(X,Y)(\phi^(-1)(t,v))*1/t=1/t$ poiche' $X,Y$ sono uniformi in $[0,1]$.
(ii) Per trovare la densita' di $U$ devo integrare sull'altra variabile. Da prima ho visto che $t \in [0.1]$.
$ g_(U)(v)=intf_(X,U) dt =int_(0)^(1)1/t dt=log(t)|_{0}^{1} $
Il problema e' quel logaritmo che in $0$ non mi piace proprio per niente.
Risposte
ciao feddy 
...sono un po' in viaggio e quindi non ho molto tempo....non ho guardato tutti i conti (che sicuramente avrai fatto per bene), ma di sicuro hai sbagliato gli estremi di integrazione. E' vero che tutte le variabili variano fra zero e uno, ma è anche vero (tu l'hai scritto, anche se con un errorino di stampa) che vale anche
$0<(v+t-1)/t<1$
e quindi devi integrare la t non fra zero e uno ma fra $int_(1-v)^(1)1/t dt=-log(1-v)$
quindi la densità di u viene $f_(U)(u)=-log(1-u)I_((0;1))(u)$
Controlliamo che $f(u)$ sia davvero una densità:
1) $f(u)>=0 AA u$
2) $int_(0)^(1)-log(1-x)dx=...=1$
tutto a posto
ciao ciao
...sono un po' in viaggio e quindi non ho molto tempo....non ho guardato tutti i conti (che sicuramente avrai fatto per bene), ma di sicuro hai sbagliato gli estremi di integrazione. E' vero che tutte le variabili variano fra zero e uno, ma è anche vero (tu l'hai scritto, anche se con un errorino di stampa) che vale anche
$0<(v+t-1)/t<1$
e quindi devi integrare la t non fra zero e uno ma fra $int_(1-v)^(1)1/t dt=-log(1-v)$
quindi la densità di u viene $f_(U)(u)=-log(1-u)I_((0;1))(u)$
Controlliamo che $f(u)$ sia davvero una densità:
1) $f(u)>=0 AA u$
2) $int_(0)^(1)-log(1-x)dx=...=1$
tutto a posto
ciao ciao
inoltre, se proprio devo essere sincero, io quel metodo non lo userei, dato che mi è molto antipatico, poco naturale e ancora meno intuitivo.
Con la tua traccia sei "obbligato" ad usare questo antipatico metodo perché ti chiede anche la distribuzione congiunta ma, per il futuro, se ti chiedesse unicamente la densità della variabile trasformata, secondo me è molto meglio utlizzare il metodo della Funzione di ripartizione; il metodo si basa unicamente sulla definizione di CDF....e sul buon senso
Infatti, la CDF della variabile trasformata $U=g(X,Y)$ si trova sempre risolvendo
$F_(U)(u)=int int_(g(x,y)
Nel caso più elementare di $X,Y$ uniformi indipendenti (qui addirittura uniformi in zero uno) ovviamente l'integrale doppio non serve, dato che stai cercando un volume di un solido con altezza costante (l'altezza è $f(x,y)$) e quindi la CDF è semplicemente pari all'area del dominio di integrazione, variabile in funzione di u.
In poche parole, basta integrare la figura seguente
ottenendo
$F_(U)(u)=P(XY-X+1<=u)=P(y<(u-1)/x +1)= int_(1-u)^(1)[(u-1)/x +1]dx=...=u-(u-1)log(1-u)$
da cui derivando ottieni la densità
$f_(U)(u)=-log(1-u)$
$0
come volevasi dimostrare
Vedi tu quale metodo preferisci adottare.....
Con la tua traccia sei "obbligato" ad usare questo antipatico metodo perché ti chiede anche la distribuzione congiunta ma, per il futuro, se ti chiedesse unicamente la densità della variabile trasformata, secondo me è molto meglio utlizzare il metodo della Funzione di ripartizione; il metodo si basa unicamente sulla definizione di CDF....e sul buon senso
Infatti, la CDF della variabile trasformata $U=g(X,Y)$ si trova sempre risolvendo
$F_(U)(u)=int int_(g(x,y)
Nel caso più elementare di $X,Y$ uniformi indipendenti (qui addirittura uniformi in zero uno) ovviamente l'integrale doppio non serve, dato che stai cercando un volume di un solido con altezza costante (l'altezza è $f(x,y)$) e quindi la CDF è semplicemente pari all'area del dominio di integrazione, variabile in funzione di u.
In poche parole, basta integrare la figura seguente
ottenendo
$F_(U)(u)=P(XY-X+1<=u)=P(y<(u-1)/x +1)= int_(1-u)^(1)[(u-1)/x +1]dx=...=u-(u-1)log(1-u)$
da cui derivando ottieni la densità
$f_(U)(u)=-log(1-u)$
$0
come volevasi dimostrare
Vedi tu quale metodo preferisci adottare.....
Innanzitutto grazie mille tommik per le risposte, entrambe chiarissime 
tuttavia nel secondo procedimento (non volermene) vorrei riuscire a ricavare la marginale usando l'integrale doppio. Insomma, cercando di essere più formale visto che è uno dei primi esercizi.
L'idea del metodo mi è chiara: trovo la CDF attraverso l'integrale e poi sfrutto il fatto che la densità è la derivata della CDF.
Come dici si ha $F_(U)(u)=int int_(g(x,y)
Ma nel caso in cui $X,Y - U(0,1)$ si ha che la congiunta $f_(X,Y)(x,y)=1$ e pertanto l'integrale è $int int_(g(x,y)
A questo punto considerando la funzione $f(x):=(u-1+x)/x$, devo sostanzialmente calcolare l'area sottesa dalla $f(x)$, nel dominio dato da $[0,1]X[0,1]$. Tale funzione interseca l'asse delle ascisse in $x=1-u$ e va al massimo fino a $1$ pertanto devo risovere l'integrale di una variabile $int_(1-u)^(1)[(u-1)/x +1]dx$ ecc..
Tutto corretto?
Ad ogni modo, concordo col te sull'antipatia del primo metodo. Purtroppo però per le congiunte abbiamo finora fatto solo questo, e spesso (anzi sempre) diventa più un esercizio di analisi che di probabilità
tuttavia nel secondo procedimento (non volermene) vorrei riuscire a ricavare la marginale usando l'integrale doppio. Insomma, cercando di essere più formale visto che è uno dei primi esercizi.
L'idea del metodo mi è chiara: trovo la CDF attraverso l'integrale e poi sfrutto il fatto che la densità è la derivata della CDF.
Come dici si ha $F_(U)(u)=int int_(g(x,y)
Ma nel caso in cui $X,Y - U(0,1)$ si ha che la congiunta $f_(X,Y)(x,y)=1$ e pertanto l'integrale è $int int_(g(x,y)
A questo punto considerando la funzione $f(x):=(u-1+x)/x$, devo sostanzialmente calcolare l'area sottesa dalla $f(x)$, nel dominio dato da $[0,1]X[0,1]$. Tale funzione interseca l'asse delle ascisse in $x=1-u$ e va al massimo fino a $1$ pertanto devo risovere l'integrale di una variabile $int_(1-u)^(1)[(u-1)/x +1]dx$ ecc..
Tutto corretto?
Ad ogni modo, concordo col te sull'antipatia del primo metodo. Purtroppo però per le congiunte abbiamo finora fatto solo questo, e spesso (anzi sempre) diventa più un esercizio di analisi che di probabilità
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