Legge forte dei grandi numeri - Rajchmann

[celeste4]

Ecco a voi l'esercizio "scoglio" della serie di probabilità che devo consegnare questa settimana...l'ho già fissato per parecchio tempo, con tutte le definizioni necessarie scritte a bordo pagina ma...ancora il vuoto...
Provo a sottoporvelo, poi man mano che riesco a combinare qualcosa, aggiungo a questo post!

Siano$X_1, X_2, ...$ delle variabili aleatorie indipendenti a due a due con varianza limitata. Allora:
$frac{1}{n}sum_{j=1}^n (X_j-E(X_j))->0$ con probabilità 1.

a) Sia $Y_n$ una successione di variabili aleatorie tali che $sum_{n=1}^infty P(|Y_n|>epsilon)0$. Mostrare che $Y_n->0$ con probabilità 1.

Per questo punto è suggerito di iniziare scrivendo $Y_n->0$ come: $nnn uuu nnn$ di qualcosa con i giusti indici...ma io non riesco a scriverlo così...voi avete idea di come completare questa scrittura?

b)Sia $K= $sup$ _j V(X_j)$ e $S_n=X_1+....+X_n$. Senza perdere generalità, supponiamo $E(X_i)=0$.
Applicare ora la disuguaglianza di Tschebyschev e l'ipotesi di indipendenza per mostrare che:
$P(frac{|S_(n^2)|}{n^2}>=epsilon)<=frac{K}{epsilon^2 n^2}=O(n^(-2))$

c) per $n \in NN$ scegliamo $m=m(n) \in NN$ tale che $m^2<=n<(m+1)^2$. Mostrare innanzi tutto che $n-m^2<=2*sqrt(n)$. Applicare poi gli stessi calcoli che in b) per dedurre che
$P(frac{|S_(n)-S_(m^2)|}{n}>=epsilon)=O(n^(-3/2))$

d) Giustificare l'ineguaglianza seguente:
$|S_n/n|<=|(S_n-S_(m^2))/n|+(m^2/n)|S_(m^2)/m^2|$. Applicare i risultati di a), b), c) per ottenere la legge dei grandi numeri.

...please, help...

[celeste4]

Prima evoluzione: per il punto b) e il punto c) effettivamente basta applicare la disuguaglianza di Tschebyschev, poi riscrivere grazie all'indipendenza, si maggiora con il sup $Var(X_j)$, e si ottiene il risultato.

Brancolo ancora nel buio per il punto a) e non ho ancora fatto il d)....