Legge delle aspettative iterate
l'applicazione di questa legge mi ha sempre dato problemi.
se
$E(X)=a$
$E(XIY)=b$
$E(E(XIY))=a$ ?
e l'insieme con meno informazione quello che vince ? direi di si
ma se ho il condizionale allora semplicemente sostituisco?
se
$E(X)=a$
$E(XIY)=b$
$E(E(XIY))=a$ ?
e l'insieme con meno informazione quello che vince ? direi di si
ma se ho il condizionale allora semplicemente sostituisco?
Risposte
Non capisco bene cosa hai scritto. Cosa è $I$? Intendi $E[X|Y]$?
Ricorda che data una qualsiasi sigma algebra $mathcal(G)$ vale che $E[\ E[X|mathcal(G)]\ ]=E[X]$.
Ricorda che data una qualsiasi sigma algebra $mathcal(G)$ vale che $E[\ E[X|mathcal(G)]\ ]=E[X]$.
Prima avevo fretta e mi sono spiegato da cane cerco di essere più chiaro.
(si $I$ voleva dire $|$ )
Se ho una v.a. $X$
$E[E[X|A] |B] = E[X| |B] $ dove $B$ è contenuto in $A$ ovvero B è l’insieme meno informativo (a me piace parlare d’informazione)
In sostanza, se ho capito, mi sto ponendo dalla parte di chi si domanda $E[X|A]$ ma siccome non conosco $A$, allora faccio che parlare di valore atteso del valore atteso condizionato, il che equivale (è intuitivo ma si dimostra) a parlare di valore atteso non condizionato; ovvero condizionato all’insieme meno informativo che si ha a disposizione (insieme vuoto).
Il problema è che ho visto fare cose del tipo
1) conosco $E[X|A] = a$
2) allora tramite la legge delle aspettative conosco anche il valore atteso non condizionale
semplicemente spostando i termini di prima
$E[X] = E[E[X|A]] = E[a] = a$
Ma a me sembra un trucco alla mago Silvan perché se conosco $E[X|A]$, in generale, non è detto che conosca anche $E[X]$ (anche se solitamente ci si chiede il contrario). Poi mettere una costante dentro il valore atteso va sempre bene ma non serve a nulla.
Di fatti sulla stessa v.a. $X$ posso dire
3) conosco $E[X|C] = c$
da cui sembrerebbe
$E[X] = E[E[X|C]] = E[c] = c$
Che è evidentemente in contraddizione con quanto detto prima !!!
Ne concludo che la legge in causa serve solo per andare dal generale al particolare (conosco il generale è mi chiedo il particolare) e non viceversa!
E' corretto?
(si $I$ voleva dire $|$ )
Se ho una v.a. $X$
$E[E[X|A] |B] = E[X| |B] $ dove $B$ è contenuto in $A$ ovvero B è l’insieme meno informativo (a me piace parlare d’informazione)
In sostanza, se ho capito, mi sto ponendo dalla parte di chi si domanda $E[X|A]$ ma siccome non conosco $A$, allora faccio che parlare di valore atteso del valore atteso condizionato, il che equivale (è intuitivo ma si dimostra) a parlare di valore atteso non condizionato; ovvero condizionato all’insieme meno informativo che si ha a disposizione (insieme vuoto).
Il problema è che ho visto fare cose del tipo
1) conosco $E[X|A] = a$
2) allora tramite la legge delle aspettative conosco anche il valore atteso non condizionale
semplicemente spostando i termini di prima
$E[X] = E[E[X|A]] = E[a] = a$
Ma a me sembra un trucco alla mago Silvan perché se conosco $E[X|A]$, in generale, non è detto che conosca anche $E[X]$ (anche se solitamente ci si chiede il contrario). Poi mettere una costante dentro il valore atteso va sempre bene ma non serve a nulla.
Di fatti sulla stessa v.a. $X$ posso dire
3) conosco $E[X|C] = c$
da cui sembrerebbe
$E[X] = E[E[X|C]] = E[c] = c$
Che è evidentemente in contraddizione con quanto detto prima !!!
Ne concludo che la legge in causa serve solo per andare dal generale al particolare (conosco il generale è mi chiedo il particolare) e non viceversa!
E' corretto?
La media condizionata (che è una v.a.) viene costruita mediante sigma algebre; date due sigma algebre $mathcal(G) sube mathcal(F)$ vale che:
$E[E[X|mathcal(G)]|mathcal(F)]\ =\ E[E[X|mathcal(F)]|mathcal(G)]\ =\ E[X|mathcal(G)].
Se $E[X|mathcal(F)]=a$ allora $E[X]=a$.
Quindi se la media condizionata è costante allora la costante è la media della variabile aleatoria.
L'esempio che fai non lo puoi costruire.
$E[E[X|mathcal(G)]|mathcal(F)]\ =\ E[E[X|mathcal(F)]|mathcal(G)]\ =\ E[X|mathcal(G)].
Se $E[X|mathcal(F)]=a$ allora $E[X]=a$.
Quindi se la media condizionata è costante allora la costante è la media della variabile aleatoria.
L'esempio che fai non lo puoi costruire.
Un momento,
$E[X|Y]$ è una v.a. perché dipende da $Y$ ed ho capito, allora se è una costante ($a$) vuol dire che
non dipende da $Y$ (se non erro si parla di indipendenza in media condizionale) e va bene. Concettualmente
se non varia con $Y$ allora quella costante $a$ ci sta che debba essere il valore atteso non condizionale.
Ma dei dubbi mi restano, ci penso poi ti dico...
EDIT
provo a ricomporre questa diatriba che avevo lasciato indietro. Il problema era nell'interpretazione di $Y$. Io la intendevo come una realizzazione ma sbagliavo; in tal caso infatti si sarebbe dovuto scivere $E[X|Y=y]$ ed allora non si avrebbe più una v.a. ma una costante. La contraddizione di cui parlavo aveva senso in questa logica ... che evidentemente è fuori luogo.
Infatti se $Y$ è una variabile aleatoria, come in realtà si dovrebbe sottointendere parlando di legge delle aspettative iterate, allora $E[X|Y]$ non è un numero ma una v.a. (@ DajeForte: come giustamente dicevi), o anche una funzione di $Y$, ed allora tutto trova un senso.
$E[X|Y]$ è una v.a. perché dipende da $Y$ ed ho capito, allora se è una costante ($a$) vuol dire che
non dipende da $Y$ (se non erro si parla di indipendenza in media condizionale) e va bene. Concettualmente
se non varia con $Y$ allora quella costante $a$ ci sta che debba essere il valore atteso non condizionale.
Ma dei dubbi mi restano, ci penso poi ti dico...
EDIT
provo a ricomporre questa diatriba che avevo lasciato indietro. Il problema era nell'interpretazione di $Y$. Io la intendevo come una realizzazione ma sbagliavo; in tal caso infatti si sarebbe dovuto scivere $E[X|Y=y]$ ed allora non si avrebbe più una v.a. ma una costante. La contraddizione di cui parlavo aveva senso in questa logica ... che evidentemente è fuori luogo.
Infatti se $Y$ è una variabile aleatoria, come in realtà si dovrebbe sottointendere parlando di legge delle aspettative iterate, allora $E[X|Y]$ non è un numero ma una v.a. (@ DajeForte: come giustamente dicevi), o anche una funzione di $Y$, ed allora tutto trova un senso.
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