Legge dei grandi numeri

[Giorgio841]

Io ho ben chiaro il teorema di Jakob Bernoulli dove la convergenza della frequenza alla probabilità , es. al lotto, è assicurata al tendere all'infinto del numero di estrazioni ma come va agomentata, e smontata in modo 'comprensivo', la classica convinzione che un numero 'ritardatario' da n(finito) estrazioni abbia una probabilità più alta di altri di uscire?
grazie

[Rggb1]

"Come è possibile che un dado si ricordi (lui, il dado) il proprio ultimo lancio? O i lanci precedenti a questo?"

[Giorgio841]

so che il ragionamento sulla 'memoria' del dadonon è percepito come decisivo:quello che conta sembra essere il fatto del 'ritardo': dovrà pure uscire quel numero (e qui si invoca una 'probabilità' non nulla che questo succeda) e, quindi, più ritarda.... che ne dite?
sto cercando di convincere dei conoscenti ma non riesco ad essere 'chiaro' (come mi dicono).
grazie

[markowitz]

Quello che poi sembra proprio essere il problema più amletico di tutta la teoria della probabilità
legata ai giochi d'azzardo. E' fondamentale uscirne
Per adesso prova a pensare a qual'è la prob. di vittoria giocando sempre la stessa
combinazione o cambiandola sempre. E' il modo più facile di introdurre il problema.

[stepper1]

"Giorgio84":Io ho ben chiaro il teorema di Jakob Bernoulli dove la convergenza della frequenza alla probabilità , es. al lotto, è assicurata al tendere all'infinto del numero di estrazioni

Penso che l'equivoco nasca proprio da quella parola: infinito. Mentre infatti in matematica la nozione di infinito ha un senso ben preciso, in statistica, che non è matematica ma usa la matematica, il concetto di infinito rischia di essere frainteso. Applicandolo ad un esperimento come l'estrazione del lotto è impossibile da concepire, proprio perchè l'inifinito è un concetto astratto che non si può realizzare mai in un esperimento. Se consideriamo la probabilità come rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, nella definizione frequentista questa viene applicata a posteriori, nella definizione classica a priori. Si tratta di due definizioni distinte che, per quanto simili possano sembrare, rimangono pur sempre due diverse definizioni di probabilità. Quand'anche poi si sostenesse che per la legge dei grandi numeri le due definizioni possono in definitiva sovrapporsi e coincidere nel loro risultato finale, rimane il fatto che esiste anche una terza definizione, quella soggettiva, che non potrà mai essere ricondotta nè alla definizione classica nè a quella frequentista. Pensare che i numeri ritardatari abbiano una maggiore probabilità di uscire, infatti, è pefettamente coerentemente con la definizione soggettiva di probabilità anche se non trova alcun riscontro nè nella realtà nè nel calcolo probabilistico classico.

[Giorgio841]

interessante.
ma chiedo aiuto a markowitz per la risposta
e riguardo all'ultimo post : stepper, potresti scrivere ancora sulla 'definizione soggettiva'?

[cenzo1]

"stepper":Penso che l'equivoco nasca proprio da quella parola: infinito. Mentre infatti in matematica la nozione di infinito ha un senso ben preciso, in statistica, che non è matematica ma usa la matematica, il concetto di infinito rischia di essere frainteso. Applicandolo ad un esperimento come l'estrazione del lotto è impossibile da concepire, proprio perchè l'inifinito è un concetto astratto che non si può realizzare mai in un esperimento. Se consideriamo la probabilità come rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, nella definizione frequentista questa viene applicata a posteriori, nella definizione classica a priori. Si tratta di due definizioni distinte che, per quanto simili possano sembrare, rimangono pur sempre due diverse definizioni di probabilità. Quand'anche poi si sostenesse che per la legge dei grandi numeri le due definizioni possono in definitiva sovrapporsi e coincidere nel loro risultato finale, rimane il fatto che esiste anche una terza definizione, quella soggettiva, che non potrà mai essere ricondotta nè alla definizione classica nè a quella frequentista. Pensare che i numeri ritardatari abbiano una maggiore probabilità di uscire, infatti, è pefettamente coerentemente con la definizione soggettiva di probabilità anche se non trova alcun riscontro nè nella realtà nè nel calcolo probabilistico classico.

Non sono d'accordo.

La definizione classica presuppone che gli eventi siano equiprobabili.
Quella frequentista non presuppone l'equiprobabilità, ma la ripetibilità di un evento aleatorio.
La definizione soggettiva è legata a quanto una persona coerente scommetterebbe su un evento a fronte di una vincita di un euro.
La teoria assiomatica della probabilità si svincola dalla sua definizione e fornisce le "regole" che cominque bisogna soddisfare per coerenza.

Per quanto riguarda i numeri ritardatari del lotto, è vero che all'aumentare delle estrazioni la frequenza converge alla probabilità attesa $1/90$ però è falso che il numero di volte che un numero esce debba convergere al numero medio atteso di uscite.
Se $p$ è la probabilità che esce il "23", $n$ il numero di estrazioni, $X$ il conteggio di quante volte il numero si è presentato in $n$ estrazioni, allora è vero che $X/n$ converge a $p$ all'aumentare di $n$, ma è falso che $X$ converge al valore atteso $n cdot p$
Direi che è proprio sulla la falsità di quest'ultima convergenza che si basa la falsità del ragionamento che i ritardatari abbiano maggiore probabilità di uscire.

Io non gioco al lotto, ma il mio suggerimento per chi gioca è di puntare sui numeri più frequenti. Magari c'è qualcosa nel meccanismo di estrazione (non dico un trucco, eh!) che rende la loro uscita più probabile.

Spero di non aver detto castronerie

[markowitz]

@stepper e cenzo
Interessante dibattito sui fondamenti teorici della probabilità
ma, secondo me, centrano poco con la domanda di Giorgio.

@cenzo
dici che è falso che $X$ converga al suo valore atteso $np$, e perché?
Nota che ai solo spostato $n$ da sinistra alla destra dell'uguale.

@Giorgio84
Se vuoi posso provare ad accompagnarti fino alla soluzione ma solo se ci ragioni
capirai davvero. Prova a rispondere
alla domanda che ti ho posto prima.
Ed anche a questa lanciamo una moneta bilanciata
qual'è la prob che esce testa ?
quale quella che esca testa 2 volte consecutive?
e se una persona entra nella stanza dove fai le prove
dopo che è uscito testa al primo lancio, ma lui non lo sa,
per lui quale sarà la prob. che esca testa? e per te?

[stepper1]

"markowitz":
e se una persona entra nella stanza dove fai le prove
dopo che è uscito testa al primo lancio, ma lui non lo sa,
per lui quale sarà la prob. che esca testa? e per te?

L'evento casuale infatti non è quello non ancora avvenuto, ma quello su cui non si hanno informazioni certe. Anche per questo la probabilità rimane un fatto soggettivo.
Per quanto riguarda la definizione frequentista mi risulta che ciascun evento elementare è considerato in quanto tale e si va a contare poi quante volte si è verificato sul totale. Ad esempio la probabilità di nascita di un maschio o di una femmina è calcolata sulla base di statistiche rilevate a livello mondiale in base alla definizione frequentista di probabilità. Non ha senso secondo me il concetto di equiprobabilità nella frequentista, per il semplice fatto che non si basa sul calcolo combinatorio dei casi possibili e di quelli favorevoli.
Se non sbaglio è la teoria assiomatica che fissa il postulato dell'equiprobabilità riferito ad ogni singolo evento elementare, a prescindere dal fatto di ricorrere alla definizione frequentista o a quella classica.
La legge dei grandi numeri si limita secondo me ad affermare che è inutile ricorrere alla definizione frequentista quando possiamo calcolare a priori le probabilità, dando per scontato che i casi siano tutti equiprobabili. Se questo invece non è dato per scontato è consigliabile verificare che, ad esempio, passando da 100 a 1.000.000 di prove, la probabilità rilevata si avvicini a quella teorica calcolata a priori. Ma anche questo solo avendo ripetuto l'esperimento così tante volte da poter affermare che è praticamente impossibile che si sia ripetutamente verificato il caso particolare, poco probabile ma possibile, che in ciascuna delle prove da 100 lanci si sia realizzata una frequenza relativa identica o molto vicina alla probabilità teorica a priori. Ecco perchè si dice che la frequenza osservata "tende in probabilità" a quella teorica calcolata a priori. In termini più semplici la legge dei grandi numeri, o legge empirica del caso, afferma che, dato un evento casuale basato su prove ripetute si potrà stimare sempre meglio la vera probabilità teorica di tale evento man mano che si aumenta il numero di prove effettuate (per questo genere di simulazioni si presta bene l'uso del calcolatore elettronico). In linea di principio ciò è vero anche per le estrazioni del lotto, ma si può verificarlo empiricamente solo dopo anni ed anni di estrazioni.

[cenzo1]

"markowitz":@cenzo
dici che è falso che $X$ converga al suo valore atteso $np$, e perché?
Nota che ai solo spostato $n$ da sinistra alla destra dell'uguale.

Non è uno spostamento da poco...
Posso aggiungere che la differenza $|X/n-p|$ diminuisce in ragione di $\sqrt(n)$ e che $X/n$ converge in probabilità a $p$
La differenza $|X-n*p|$ invece cresce in ragione di $\sqrt(n)$
Ho trovato questa efficace animazione che mostra la differenza: http://stat-www.berkeley.edu/~stark/Java/Html/lln.htm
Per la parte teorica... ho trovato ad esempio questo riferimento: www.unibas.it/utenti/dinardo/sedicilezio.pdf (teorema 1.1)
La causa risiede nel fatto che la varianza della $X$ (una binomiale, somma di bernoulliane i.i.d.) è $Var(X)=np(1-p)$ e quindi cresce con $n$
mentre la varianza della media $X/n$ è $Var(X/n)=(p(1-p))/n$ e quindi decresce con $n$

[markowitz]

@stepper
In generale credo di aver capito il senso di quello che dici ma:

"stepper":
L'evento casuale infatti non è quello non ancora avvenuto, ma quello su cui non si hanno informazioni certe. Anche per questo la probabilità rimane un fatto soggettivo.

Non capisco questa affermazione.

"stepper":
Non ha senso secondo me il concetto di equiprobabilità nella frequentista, per il semplice fatto che non si basa sul calcolo combinatorio dei casi possibili e di quelli favorevoli.
Se non sbaglio è la teoria assiomatica che fissa il postulato dell'equiprobabilità riferito ad ogni singolo evento elementare, a prescindere dal fatto di ricorrere alla definizione frequentista o a quella classica.
La legge dei grandi numeri si limita secondo me ad affermare che è inutile ricorrere alla definizione frequentista quando possiamo calcolare a priori le probabilità, dando per scontato che i casi siano tutti equiprobabili. ...

Qui non sono d'accordo, nel mio modo di vedere, le cose (in estrema sintesi che sono di fretta) stanno così:
la teoria assiomatica fissa il postulato dell'equiprobabilità riferito ad ogni singolo evento elementare,
da cui si ottiene per costruzione l'approccio classico che, tra l'altro, è tipicamente quello che serve nei giochi d'azzardo tipo il lotto.
Con tale approccio non riusciamo a trattare molti problemi tra cui: tutti i casi in cui il postulato di cui sopra non è
ammissibile, tipo caso banale moneta sbilanciata; difficoltà nel passaggio alle v.a. continue.
Passando all'approccio frequentista ri-risolviamo i problemi dove il postulato e valido, ed anche molti altri
quindi frequentista, almeno per me, generalizza il classico.
Col soggettivo il discorso è diverso perché trattiamo problemi non affrontabili con gli altri approcci.
Tuttavia, per dirla in modo iper-semplicistico, l'approccio soggettivo mi fa venire l'orticaria.
Pensare che "la verità" sia frutto di un'idea individuale (soggettiva) ed, almeno in certi ambiti,
anche non falsificabile, è in chiaro contrasto col pensiero scientifico. Quindi tale approccio è da usare con i guanti.
Ripeto sto facendo di fretta,
comunque meno usiamo tale approccio meglio è, almeno per me.

In ogni caso a prescindere da queste questioni la soluzione del problema di Giorgio
NON CAMBIA! (e meno male ).

[markowitz]

Ora o capito quello che volevi dire effettivamente hai ragione!
In sostanza nell'esempio che fai, e che fa anche il pdf che posti, se lo interpreto bene
si costruisce $S_n$ come una realizzazione UNICA di una variabile aleatoria
anche se funzione di $n$ (anche infinite) realizzazioni di v.a. iid, ed è questo che porta in errore, c'ero cascato anche io .
Comunque ai fini statistici il problema si aggira facilmente basta dire che prendiamo la v.a.
$S_n_1$ (ci limitiamo ad una serie finita) di media $n_1p$ e la ricostruiamo $n_2$ volte.
allora avremmo che non solo $E(S_n_1)=n_1p$ ma
che $S_mu=(sum S_n_1)/n_2$converge ad $n_1p$
Nel nostro caso la prob che esce il numero $x$ è $1/90$ ma su 90 lanci
ma la somma osservata $X_90$ non converge ad 1 con prob 1.
Ma considerando intervalli disgiunti di $n_2$ numeri
la media dei valori registrati converge ad 1 con prob. $1$
Quindi con tale argomento non riesci a smontare la teoria dei "ritardatari"

[stepper1]

"markowitz":@stepper
In generale credo di aver capito il senso di quello che dici ma:
[quote="stepper"]
L'evento casuale infatti non è quello non ancora avvenuto, ma quello su cui non si hanno informazioni certe. Anche per questo la probabilità rimane un fatto soggettivo.

Non capisco questa affermazione.
[/quote]
Mi sembra un ragionamento logico: tutto dipende dalle informazioni a disposizione, non dalla semplice constatazione che l'evento sia già avvenuto o meno. Capisco che sul piano pratico la differenza sia insignificante (l'evento casuale è tale indipendentemente dal motivo per cui non se ne conosce ancora l'esito) ma potrebbero verificarsi casi di "asimmetria informativa" di varia natura ed origine.

"markowitz":[quote="stepper"]
...La legge dei grandi numeri si limita secondo me ad affermare che è inutile ricorrere alla definizione frequentista quando possiamo calcolare a priori le probabilità, dando per scontato che i casi siano tutti equiprobabili. ...

Qui non sono d'accordo, nel mio modo di vedere, le cose (in estrema sintesi che sono di fretta) stanno così:
la teoria assiomatica fissa il postulato dell'equiprobabilità riferito ad ogni singolo evento elementare,
da cui si ottiene per costruzione l'approccio classico che, tra l'altro, è tipicamente quello che serve nei giochi d'azzardo tipo il lotto.
Con tale approccio non riusciamo a trattare molti problemi tra cui: tutti i casi in cui il postulato di cui sopra non è
ammissibile, tipo caso banale moneta sbilanciata; difficoltà nel passaggio alle v.a. continue.
Passando all'approccio frequentista ri-risolviamo i problemi dove il postulato e valido, ed anche molti altri
quindi frequentista, almeno per me, generalizza il classico.
Col soggettivo il discorso è diverso perché trattiamo problemi non affrontabili con gli altri approcci.
Tuttavia, per dirla in modo iper-semplicistico, l'approccio soggettivo mi fa venire l'orticaria.
Pensare che "la verità" sia frutto di un'idea individuale (soggettiva) ed, almeno in certi ambiti,
anche non falsificabile, è in chiaro contrasto col pensiero scientifico. Quindi tale approccio è da usare con i guanti.
Ripeto sto facendo di fretta,
comunque meno usiamo tale approccio meglio è, almeno per me.
[/quote]
Comprendo perfettamente i limiti della definizione soggettivista di probabilità, soprattutto per la sua arbitrarietà; anche se a ben vedere si tratta di un'arbitrarietà che rientra nei limiti del ragionamento razionale perchè esprime sempre la probabilità come numero compreso tra 0 e 1. Da un certo punto di vista, e credo anche storicamente, la definizione soggetivista ha preceduto la teoria assiomatica che stabilisce in modo univoco i limiti entro cui occorre muoversi nel parlare di probabilità, senza entrare poi nel merito di come attribuire un valore di probabilità a un particolare evento casuale.
Ti faccio un esempio preso dalla cronaca recente: esperti di calcio e di probabiltà avrebbero potuto arrovellarsi nel cercare di calcolare il più esattamente possibile con metodi statistici frequentisti la probabiltà che la squadra italiana di calcio vincesse o perdesse ieri contro la Serbia; viceversa un'analista politco attento a fatti di recente cronaca internazionale (pestaggio al gay pride di Belgrado) avrebbe potuto immaginare più probabile quello che poi è successo. E gli articoli che oggi si leggono sui giornali mi danno ragione quando elencano le colpe innumerevoli dell'organizzazione italiana della sicurezza:(da http://www.corriere.it/sport/10_ottobre_13/commenti-in-serbia_d3fd0e08-d69c-11df-831d-00144f02aabc.shtml) "Ma non ci sono solo le scuse. Il ministro dell'interno e vicepremier serbo, Ivica Dacic, ha detto oggi che i preparativi per la partita Serbia-Italia di Genova non stati fatti bene, e che un gruppo non eccessivamente numeroso di tifosi è riuscito a far sospendere l'incontro. Parlando a Belgrado, Dacic ha osservato che l'intervento della polizia italiana avrebbe potuto essere molto più efficace, e che non si doveva permettere l'ingresso allo stadio a tifosi in possesso di oggetti vari, cosa questa che a Belgrado non sarebbe mai avvenuta" . E via di questo passo...