Legge congiunta di una normale e il suo quadrato
Salve a tutti. Volevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi con il seguente esercizio:
Ho una variabile X distribuita come una N(0;1) e una variabile $ T=X^2 $ , distribuita quindi come una \Gamma(0,5;0,5). L'esercizio chiede di calcolare la funzione cumulativa congiunta delle due variabili.
Grazie in anticipo
Ho una variabile X distribuita come una N(0;1) e una variabile $ T=X^2 $ , distribuita quindi come una \Gamma(0,5;0,5). L'esercizio chiede di calcolare la funzione cumulativa congiunta delle due variabili.
Grazie in anticipo
Risposte
aiutare significa che tu scrivi una bozza in cui si evidenziano i tuoi sforzi per risolvere il problema....qui non vedo alcun tentativo di soluzione
Saluti
1.2 Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Saluti
Scusa hai ragione. Allora io ho provato a calcolarla con
$ P(X<=x, T<=t)=P(X<=x, X^2<=t)=P(X<=x,-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}) $
Il problema è che arrivato qui non so più come passare alle funzioni cumulative.
$ P(X<=x, T<=t)=P(X<=x, X^2<=t)=P(X<=x,-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}) $
Il problema è che arrivato qui non so più come passare alle funzioni cumulative.
Supponiamo che esista una $f_(XT)(x,t)$. Allora, per definizione, deve essere
1) $f_(XT)(x,t)>=0 AA(x,t) in D$
2) $intint_D f_(XT)(x,t)dxdt=1$
Ora... io faccio fatica ad individuare una regione di piano $D$ su cui integrare una distribuzione congiunta ... quindi ti chiedo: siamo sicuri che quello postato è esattamente il testo integrale, parola per parola, del problema? Oppure: sei in grado di dirmi quale sia $D$?
grazie
1) $f_(XT)(x,t)>=0 AA(x,t) in D$
2) $intint_D f_(XT)(x,t)dxdt=1$
Ora... io faccio fatica ad individuare una regione di piano $D$ su cui integrare una distribuzione congiunta ... quindi ti chiedo: siamo sicuri che quello postato è esattamente il testo integrale, parola per parola, del problema? Oppure: sei in grado di dirmi quale sia $D$?
grazie
Il testo esattamente dice:
Data $ X $ distribuita come una normale di media zero e varianza uno e data $ T=X^2 $ , calcolare:
-La covarianza tra la variabile X e la variabile T (e il risultato mi viene 0)
-Il coefficiente di correlazione tra la variabile X e la variabile T (anch'esso risultante pari a 0)
-Relativamente alla coppia di v.a. (X,T) dove è posizionata la massa di probabilità nel piano (x,t)? (e se non sbaglio il grafico risultante nel piano (x,t) non dovrebbe essere altro che quello della funzione Y=-X, ovvero una parabola con concavità verso l'alto e minimo in (0,0) )
-Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa congiunta $ F_(X,T)(x,t) $
Data $ X $ distribuita come una normale di media zero e varianza uno e data $ T=X^2 $ , calcolare:
-La covarianza tra la variabile X e la variabile T (e il risultato mi viene 0)
-Il coefficiente di correlazione tra la variabile X e la variabile T (anch'esso risultante pari a 0)
-Relativamente alla coppia di v.a. (X,T) dove è posizionata la massa di probabilità nel piano (x,t)? (e se non sbaglio il grafico risultante nel piano (x,t) non dovrebbe essere altro che quello della funzione Y=-X, ovvero una parabola con concavità verso l'alto e minimo in (0,0) )
-Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa congiunta $ F_(X,T)(x,t) $
"Cesoig":
se non sbaglio il grafico risultante nel piano (x,t) non dovrebbe essere altro che quello della funzione .... ovvero una parabola con concavità verso l'alto e minimo in (0,0)
anche secondo me...e quindi la coppia $(X,T)$ non ammette densità congiunta perchè sarà sempre $intint_D f_(XT)(x,t)dxdt=0$
(sempre secondo il mio modesto parere....)
fammi sapere qualche cosa, magari chiedi al docente. Ti confermo che il resto è corretto....
ciao
Ps: non serve citare ogni volta il mio messaggio ed appensantire il topic....basta fare "rispondi" al posto di "cita"
le citazioni servono quando devi mettere qualche cosa in evidenza (come ho fatto io in questo post); se citi tutto il messaggio non si capisce nulla.
Va bene. Per ora ti ringrazio. Chiederò direttamente a lui e ti faccio sapere se la tua valutazione è corretta.
Ciao!
Ciao!
Ciao. Allora ho chiesto al mio prof. e mi ha spiegato la soluzione.
Allora di sicuro la funzione densità è di tipo degenere, nel senso che non essendo definita su un'area ma solo su una linea (la parabola $ T=X^2 $) ha valore infinito e di conseguenza non si può calcolare la funzione cumulativa congiunta tramite l'integrale di essa.
Riprendendo i passaggi che già avevo postato, invece, si prosegue come segue:
$ P(X<=x, T<=t)=P(X<=x, X^2<=t)=P(X<=x,-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t})=P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})$
A questo punto si hanno due casi:
- Caso 1: $-\sqrt{t}
Nel caso 1 $P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})=P({-\sqrt{t} <=X<= x)=F_(X)(x)-F_(X)({-\sqrt{t})$
Nel caso 2 $P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})=P({-\sqrt{t} <=X<= \sqrt{t})=F_(X)(\sqrt{t})-F_(X)({-\sqrt{t})$
Di conseguenza la funzione cumulativa vale:
$
2\phi(\sqrt(t))-1 $in tutti i punti del piano (X,T) tali che $ x>=\sqrt{t}$
$\phi(x)-\phi(-\sqrt(t))$ in tutti i punti del piano (X,T) tali che $ -\sqrt{t}
Allora di sicuro la funzione densità è di tipo degenere, nel senso che non essendo definita su un'area ma solo su una linea (la parabola $ T=X^2 $) ha valore infinito e di conseguenza non si può calcolare la funzione cumulativa congiunta tramite l'integrale di essa.
Riprendendo i passaggi che già avevo postato, invece, si prosegue come segue:
$ P(X<=x, T<=t)=P(X<=x, X^2<=t)=P(X<=x,-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t})=P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})$
A questo punto si hanno due casi:
- Caso 1: $-\sqrt{t}
Nel caso 1 $P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})=P({-\sqrt{t} <=X<= x)=F_(X)(x)-F_(X)({-\sqrt{t})$
Nel caso 2 $P({X<=x}\cap{-\sqrt{t} <=X<=\sqrt{t}})=P({-\sqrt{t} <=X<= \sqrt{t})=F_(X)(\sqrt{t})-F_(X)({-\sqrt{t})$
Di conseguenza la funzione cumulativa vale:
$
2\phi(\sqrt(t))-1 $in tutti i punti del piano (X,T) tali che $ x>=\sqrt{t}$
$\phi(x)-\phi(-\sqrt(t))$ in tutti i punti del piano (X,T) tali che $ -\sqrt{t}
"Cesoig":
Allora di sicuro la funzione densità è di tipo degenere, e di conseguenza non si può calcolare la funzione cumulativa congiunta tramite l'integrale di essa.
grazie di aver postato la soluzione, la leggerò con attenzione e sarà sicuramente utile anche ad altri...io mi ero fermato a questa considerazione e non ho pensato di andare oltre (e comunque dubito che ci sarei arrivato....)
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Ingegneria informatica. Mi manca giusto quest'esame e poi mi laureo
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