Legge Binomiale vs. Spazio Uniforme
Salve,
il Baldi mette in relazione in un esempio la possibilità di risolvere lo stesso esercizio in uno spazio uniforme e con una legge binomiale con variabili aleatorie.
Quello che chiedo è perchè risulti differente la formula conclusiva.
Spero mi perdoniate se incollo qua le due facciate del libro in una immagine, per capire il mio dubbio deve esserci tutto il testo.
Problema secondo Spazio Uniforme:$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Problema secondo Legge Binomiale e Variabili Aleatorie:
La cosa fondamentale: perchè le due funzioni di probabilità evidenziate in nero, sono diverse? dato che il problema è il medesimo, dovrebbero essere equivalenti.
Ringrazio
il Baldi mette in relazione in un esempio la possibilità di risolvere lo stesso esercizio in uno spazio uniforme e con una legge binomiale con variabili aleatorie.
Quello che chiedo è perchè risulti differente la formula conclusiva.
Spero mi perdoniate se incollo qua le due facciate del libro in una immagine, per capire il mio dubbio deve esserci tutto il testo.
Problema secondo Spazio Uniforme:$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $Problema secondo Legge Binomiale e Variabili Aleatorie:
La cosa fondamentale: perchè le due funzioni di probabilità evidenziate in nero, sono diverse? dato che il problema è il medesimo, dovrebbero essere equivalenti.
Ringrazio
Risposte
Non sono lo stesso esercizio: il modello è lo stesso, ma nel primo viene richiesto di calcolare la probabilità di ottenere una determinata sequenza di teste e croci,
nel secondo invece chiede qual è la probabilità di ottenere k successi in n prove. Se nel primo devi calcolare la probabilità che esca una determinata sequenza formata da k teste e n-k croci, nel secondo devi determinare la probabilità di ottenere una qualsiasi delle sequenze formate da k teste e n-k croci, che sono appunto $ ( ( n ),( k ) ) $. Per questo motivo puoi ricavare la seconda formula moltiplicando la prima per $ ( ( n ),( k ) ) $.
nel secondo invece chiede qual è la probabilità di ottenere k successi in n prove. Se nel primo devi calcolare la probabilità che esca una determinata sequenza formata da k teste e n-k croci, nel secondo devi determinare la probabilità di ottenere una qualsiasi delle sequenze formate da k teste e n-k croci, che sono appunto $ ( ( n ),( k ) ) $. Per questo motivo puoi ricavare la seconda formula moltiplicando la prima per $ ( ( n ),( k ) ) $.
Occhio che non è lo stesso esercizio: nel primo si cerca una sequenza prefissata, nel secondo la probabilità di ottenere k successi in n prove.
Ora, tale probabilità è data da $P({omega})$ moltiplicato per il numero di sequenze contenenti k simboli 1, cioè dal numero di combinazioni possibili di k elementi di un insieme di cardinalità n: cioè $((n), (k))$.
Spero di averti aiutato; nel dubbio chiedi pure.
EDIT: Scrivevo insieme a Deckard
Ora, tale probabilità è data da $P({omega})$ moltiplicato per il numero di sequenze contenenti k simboli 1, cioè dal numero di combinazioni possibili di k elementi di un insieme di cardinalità n: cioè $((n), (k))$.
Spero di averti aiutato; nel dubbio chiedi pure.
EDIT: Scrivevo insieme a Deckard
A titolo di esempio:
una cosa è calcolare la p. che esca la sequenza [TCTC],
altra cosa è dire che in 4 lanci escano 2T e 2C.
Nel secondo caso, oltre a [TCTC], ci sono altre 5 sequenze [TTCC] [TCCT] ...... in tutto 6. $((4),(2))$
una cosa è calcolare la p. che esca la sequenza [TCTC],
altra cosa è dire che in 4 lanci escano 2T e 2C.
Nel secondo caso, oltre a [TCTC], ci sono altre 5 sequenze [TTCC] [TCCT] ...... in tutto 6. $((4),(2))$
great, tutto chiaro;
era una interpretazione sbagliata o una assunzione che ho fatto, che mi ha fatto dubitare...
un'altra cosa così chiarisco pure questo: nell'esempio 1.18 (prima facciata), se $p=1/2$ è ovvio che sia uno spazio uniforme, ma nel secondo caso $p!=1/2$ è sempre uniforme? io dalle cose che mi avete detto, direi di no.
Grazie a tutti
era una interpretazione sbagliata o una assunzione che ho fatto, che mi ha fatto dubitare...
un'altra cosa così chiarisco pure questo: nell'esempio 1.18 (prima facciata), se $p=1/2$ è ovvio che sia uno spazio uniforme, ma nel secondo caso $p!=1/2$ è sempre uniforme? io dalle cose che mi avete detto, direi di no.
Grazie a tutti
Bisognerebbe vedere cosa si intende per uniforme.
Comunque se lanci n volte una moneta le possibili uscite sono $2^n$.
Se $p=1/2$ tutti quelle uscite (sarebbero gli $omega$) hanno stessa probabilità (che è $2^(-n)$).
Se $p!=1/2$ ci sono gruppetti con probabilità diverse. Dipende da quante teste e croci ci sono nela sequenza.
Per esempio n=10, 2T e 8C messe in un certo ordine hanno una certa probabilità; 5T e 5C in un determinato ordine ne hanno un'altra.
Nota che dato che hai X teste e n-X croci (che sono $((n),(X))$ casi) tutti questi hanno stessa probabilità, ovvero fissato il numero di T e C, scambiando l'ordine di questi ottieni omega equiprobabili.
Comunque se lanci n volte una moneta le possibili uscite sono $2^n$.
Se $p=1/2$ tutti quelle uscite (sarebbero gli $omega$) hanno stessa probabilità (che è $2^(-n)$).
Se $p!=1/2$ ci sono gruppetti con probabilità diverse. Dipende da quante teste e croci ci sono nela sequenza.
Per esempio n=10, 2T e 8C messe in un certo ordine hanno una certa probabilità; 5T e 5C in un determinato ordine ne hanno un'altra.
Nota che dato che hai X teste e n-X croci (che sono $((n),(X))$ casi) tutti questi hanno stessa probabilità, ovvero fissato il numero di T e C, scambiando l'ordine di questi ottieni omega equiprobabili.
Sarebbe anche un utile esercizio verificare che la somma delle probabilità dei vari gruppetti è $P(\Omega)=1$
"DajeForte":
Bisognerebbe vedere cosa si intende per uniforme.
Comunque se lanci n volte una moneta le possibili uscite sono $2^n$.
Se $p=1/2$ tutti quelle uscite (sarebbero gli $omega$) hanno stessa probabilità (che è $2^(-n)$).
Se $p!=1/2$ ci sono gruppetti con probabilità diverse. Dipende da quante teste e croci ci sono nela sequenza.
Per esempio n=10, 2T e 8C messe in un certo ordine hanno una certa probabilità; 5T e 5C in un determinato ordine ne hanno un'altra.
Nota che dato che hai X teste e n-X croci (che sono $((n),(X))$ casi) tutti questi hanno stessa probabilità, ovvero fissato il numero di T e C, scambiando l'ordine di questi ottieni omega equiprobabili.
Uniforme: spazio di probabilità uniforme, cioè che tutti i possibili risultati abbiano la stessa probabilità di verificarsi.
Io conosco solo questa di definizione...
Ma da quanto dici i due casi, sono tutti e due con equiprobabilità perciò di spazio uniforme.
con "gruppetti" intendi "punti di accumulazione"?
comunque intanto vi ringrazio
No quello uniforme è $p=1/2$ perchè qualsiasi omega prendi la sua probabilità è uguale.
Se consideri $p!=1/2$ non è uniforme perchè (T,T,T) ha diversa probabilità da (T,T,C).
Se consideri $p!=1/2$ non è uniforme perchè (T,T,T) ha diversa probabilità da (T,T,C).
perfetto ti ringrazio della precisazione
Ultima cosa, con "gruppetti" (a parte l'ovvio significato) intendi "punti di accumulazione"?
Ultima cosa, con "gruppetti" (a parte l'ovvio significato) intendi "punti di accumulazione"?
No, intendevo che tra i $2^n$ omega puoi dividerli in gruppi in maniera che all'interno di ciascun gruppo gli omega hanno stessa probabilità.
Se prendi n=3 hai
(T,T,T) con probabilità $p^3$ (e gli eventi sono $((3),(0))=1$)
(T,T,C),(T,C,T),(C,T,T) ciascuno con $p^2 q$ (e gli eventi sono $((3),(1))=3$)
(T,C,C),(C,T,C),(C,C,T) con $p q^2$ (e gli eventi sono $((3),(2))=3$)
(C,C,C) con $q^3$ (e gli eventi sono $((3),(0))=1$)
Se prendi n=3 hai
(T,T,T) con probabilità $p^3$ (e gli eventi sono $((3),(0))=1$)
(T,T,C),(T,C,T),(C,T,T) ciascuno con $p^2 q$ (e gli eventi sono $((3),(1))=3$)
(T,C,C),(C,T,C),(C,C,T) con $p q^2$ (e gli eventi sono $((3),(2))=3$)
(C,C,C) con $q^3$ (e gli eventi sono $((3),(0))=1$)
fantastico, adesso è tutto ok
molto gentile, ti ringrazio
molto gentile, ti ringrazio
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