Lancio moneta non truccata, 2 teste 3 lanci - Probabilità
Buongiorno,
Vi presento il seguente problema:
Se lancio una moneta non truccata 5 volte, calcolare la probabilità:
$a)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci;
$b)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci e di avere almeno due volte Croce negli ultimi 3 lanci.
Io sono giunta alla soluzione in maniera orribile, scrivendo cioè tutti i 32 vari gruppi possibili, ovvero:
${ T, T, T, T, T} ; { T, T, T, T, C};..$ ecc.
Tuttavia non sono stata in grado di risolvere il problema utilizzando il calcolo delle probabilità, la matematica in sé.
Ho due domande per voi:
1) Sareste in grado di risolvere i quesiti $a)$ e $b)$ utilizzando la matematica?
2) In questo caso, per calcolare il numero di gruppi possibili, ho considerato le disposizioni con ripetizione, in quanto ho
$n=2$ oggetti
e $k=5$ posti
da cui $2^5=32$.
Ho considerato in modo naturale di trovarmi in un caso in cui ho "ripetizioni", però mi sono fermata a pensare sul perché di ciò.
"Ho ripetizioni perché...?"
...Qualcuno saprebbe terminare la frase?
Vi presento il seguente problema:
Se lancio una moneta non truccata 5 volte, calcolare la probabilità:
$a)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci;
$b)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci e di avere almeno due volte Croce negli ultimi 3 lanci.
Io sono giunta alla soluzione in maniera orribile, scrivendo cioè tutti i 32 vari gruppi possibili, ovvero:
${ T, T, T, T, T} ; { T, T, T, T, C};..$ ecc.
Tuttavia non sono stata in grado di risolvere il problema utilizzando il calcolo delle probabilità, la matematica in sé.
Ho due domande per voi:
1) Sareste in grado di risolvere i quesiti $a)$ e $b)$ utilizzando la matematica?
2) In questo caso, per calcolare il numero di gruppi possibili, ho considerato le disposizioni con ripetizione, in quanto ho
$n=2$ oggetti
e $k=5$ posti
da cui $2^5=32$.
Ho considerato in modo naturale di trovarmi in un caso in cui ho "ripetizioni", però mi sono fermata a pensare sul perché di ciò.
"Ho ripetizioni perché...?"
...Qualcuno saprebbe terminare la frase?
Risposte
"anonymous_be0efb":
a) di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci;
Qui basta considerare i primi tre lanci.
"anonymous_be0efb":
b) di avere almeno due volte Testa nei primi lanci e di avere almeno due volte Croce negli ultimi 3 lanci.
E qui hai due problemi separati (non è vero - vedi sotto), uno sui primi tre (? non lo dici) lanci e uno sugli ultimi due [ho letto male. hai detto ultimi 3]. Immagino che i lanci di questa moneta siano indipendenti. Farà parte di "non truccata".
Correzione: non avevo notato che dice "primi tre" e "ultimi tre". Non sono problemi separati, allora. Chiedo scusa.
"ghira":
(? non lo dici) lanci e uno sugli ultimi due. Immagino che i lanci di questa moneta siano indipendenti. Farà parte di "non truccata".
ghira ho corretto la frase grazie di avermelo fatto notare.
I lanci della moneta sono indipendenti, esatto.
per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?
"anonymous_be0efb":
per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?
Assolutamente no.
"anonymous_be0efb":
per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?
devi prendere in esame solo i primi 3 lanci,
fregatene del 4^ e 5^ lancio
Scusate ma proprio non c'arrivo.
E' banale dire che se scrivo tutte le possibili configurazioni poi mi basta contare quelle corrette, ed è quello che ho fatto, ottenendo il risultato corretto.
Tuttavia non riesco a risolverlo utilizzando la matematica...
E' banale dire che se scrivo tutte le possibili configurazioni poi mi basta contare quelle corrette, ed è quello che ho fatto, ottenendo il risultato corretto.
Tuttavia non riesco a risolverlo utilizzando la matematica...
"anonymous_be0efb":
ottenendo il risultato corretto..
Quale risultato corretto hai ottenuto? $\frac{2^3}{2^5}$ non sembra corretto.
"ghira":
[quote="anonymous_be0efb"]ottenendo il risultato corretto..
Quale risultato corretto hai ottenuto? $\frac{2^3}{2^5}$ non sembra corretto.[/quote]
per il quesito b) ho trovato il risultato $3/16$.
Quello del quesito a) non l'ho neanche trascritto. Ma, ripeto, i risultati non possono che essere corretti, perché vengono fuori dal procedimento bovino di trascrivere tutte le casistiche e contare quelle che ci interessano.
Qua quello di cui mi importa, che sto chiedendo, che mi sfugge, è il procedimento matematico...
Risolvere questi esercizi utilizzando lo spazio campionario non è affatto un modo "bovino", anzi significa capire come funzioni il calcolo delle probabilità; ovviamente dipende dal tipo di ragionamento, il tuo sì è un po' troppo naïf.
Ad esempio, per il punto a) ottieni i seguenti 4 casi favorevoli su $2^3=8$ possibili (non serve scriverli tutti e 8, basta contare quelli favorevoli)
$1)" "{T ,T ,T}$
$2)" "{C, T ,T}$
$3)" "{T ,C ,T}$
$4)" "{T ,T, C}$
da cui immediatamente trovi che la probabilità richiesta è $1/2$. Non ti piace? Usa la binomiale
$mathbb{P}[T>=2]= ((3),(2))1/2^3+1/2^3=1/2$
Per il punto b) basta usare lo spazio campionario in modo intelligente.
Infatti senza scrivere tutti e 32 i casi possibili ma solo osservando i 4 casi precedenti si nota subito che nei primi 3 casi (3 su 8 totali) è obbligatorio che vengano fuori due croci nei due lanci successivi mentre nell'ultimo caso (1 sempre su 8 totali) NON devono uscire due teste
ergo.....
$3/8xx1/4+1/8xx(1-1/4)=3/16$
Non ti piace? La formula matematica è sempre quella (anche se non è l'unica via) e con un po' di pratica si fa tranquillamente anche senza scrivere su carta le 4 realizzazioni campionarie base che aiutano a determinarla.
@anonymous_be0efb: "uppare" il presente topic su altri thread non mi pare una cosa da fare....(ti ho cancellato l'up indiretto)
Ad esempio, per il punto a) ottieni i seguenti 4 casi favorevoli su $2^3=8$ possibili (non serve scriverli tutti e 8, basta contare quelli favorevoli)
$1)" "{T ,T ,T}$
$2)" "{C, T ,T}$
$3)" "{T ,C ,T}$
$4)" "{T ,T, C}$
da cui immediatamente trovi che la probabilità richiesta è $1/2$. Non ti piace? Usa la binomiale
$mathbb{P}[T>=2]= ((3),(2))1/2^3+1/2^3=1/2$
Per il punto b) basta usare lo spazio campionario in modo intelligente.
Infatti senza scrivere tutti e 32 i casi possibili ma solo osservando i 4 casi precedenti si nota subito che nei primi 3 casi (3 su 8 totali) è obbligatorio che vengano fuori due croci nei due lanci successivi mentre nell'ultimo caso (1 sempre su 8 totali) NON devono uscire due teste
ergo.....
$3/8xx1/4+1/8xx(1-1/4)=3/16$
Non ti piace? La formula matematica è sempre quella (anche se non è l'unica via) e con un po' di pratica si fa tranquillamente anche senza scrivere su carta le 4 realizzazioni campionarie base che aiutano a determinarla.
@anonymous_be0efb: "uppare" il presente topic su altri thread non mi pare una cosa da fare....(ti ho cancellato l'up indiretto)
Gentilissimo tommik.
P.s. Sorry, non lo farò più
P.s. Sorry, non lo farò più
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