Lancio moneta non truccata, 2 teste 3 lanci - Probabilità

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Buongiorno,

Vi presento il seguente problema:

Se lancio una moneta non truccata 5 volte, calcolare la probabilità:

$a)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci;
$b)$ di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci e di avere almeno due volte Croce negli ultimi 3 lanci.

Io sono giunta alla soluzione in maniera orribile, scrivendo cioè tutti i 32 vari gruppi possibili, ovvero:

${ T, T, T, T, T} ; { T, T, T, T, C};..$ ecc.

Tuttavia non sono stata in grado di risolvere il problema utilizzando il calcolo delle probabilità, la matematica in sé.

Ho due domande per voi:

1) Sareste in grado di risolvere i quesiti $a)$ e $b)$ utilizzando la matematica?
2) In questo caso, per calcolare il numero di gruppi possibili, ho considerato le disposizioni con ripetizione, in quanto ho
$n=2$ oggetti
e $k=5$ posti
da cui $2^5=32$.
Ho considerato in modo naturale di trovarmi in un caso in cui ho "ripetizioni", però mi sono fermata a pensare sul perché di ciò.
"Ho ripetizioni perché...?"
...Qualcuno saprebbe terminare la frase?

Risposte
ghira1
"anonymous_be0efb":

a) di avere almeno due volte Testa nei primi 3 lanci;


Qui basta considerare i primi tre lanci.

"anonymous_be0efb":
b) di avere almeno due volte Testa nei primi lanci e di avere almeno due volte Croce negli ultimi 3 lanci.


E qui hai due problemi separati (non è vero - vedi sotto), uno sui primi tre (? non lo dici) lanci e uno sugli ultimi due [ho letto male. hai detto ultimi 3]. Immagino che i lanci di questa moneta siano indipendenti. Farà parte di "non truccata".

Correzione: non avevo notato che dice "primi tre" e "ultimi tre". Non sono problemi separati, allora. Chiedo scusa.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"ghira":
(? non lo dici) lanci e uno sugli ultimi due. Immagino che i lanci di questa moneta siano indipendenti. Farà parte di "non truccata".


ghira ho corretto la frase grazie di avermelo fatto notare.
I lanci della moneta sono indipendenti, esatto.

per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?

ghira1
"anonymous_be0efb":


per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?


Assolutamente no.

Umby2
"anonymous_be0efb":


per il problema $a)$ quindi pensi che dovrei semplicemente scrivere $2^3 / 2^5$ ?


devi prendere in esame solo i primi 3 lanci,
fregatene del 4^ e 5^ lancio

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Scusate ma proprio non c'arrivo.
E' banale dire che se scrivo tutte le possibili configurazioni poi mi basta contare quelle corrette, ed è quello che ho fatto, ottenendo il risultato corretto.
Tuttavia non riesco a risolverlo utilizzando la matematica...

ghira1
"anonymous_be0efb":
ottenendo il risultato corretto..


Quale risultato corretto hai ottenuto? $\frac{2^3}{2^5}$ non sembra corretto.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"ghira":
[quote="anonymous_be0efb"]ottenendo il risultato corretto..


Quale risultato corretto hai ottenuto? $\frac{2^3}{2^5}$ non sembra corretto.[/quote]

per il quesito b) ho trovato il risultato $3/16$.

Quello del quesito a) non l'ho neanche trascritto. Ma, ripeto, i risultati non possono che essere corretti, perché vengono fuori dal procedimento bovino di trascrivere tutte le casistiche e contare quelle che ci interessano.

Qua quello di cui mi importa, che sto chiedendo, che mi sfugge, è il procedimento matematico...

Lo_zio_Tom
Risolvere questi esercizi utilizzando lo spazio campionario non è affatto un modo "bovino", anzi significa capire come funzioni il calcolo delle probabilità; ovviamente dipende dal tipo di ragionamento, il tuo sì è un po' troppo naïf.

Ad esempio, per il punto a) ottieni i seguenti 4 casi favorevoli su $2^3=8$ possibili (non serve scriverli tutti e 8, basta contare quelli favorevoli)

$1)" "{T ,T ,T}$
$2)" "{C, T ,T}$
$3)" "{T ,C ,T}$
$4)" "{T ,T, C}$

da cui immediatamente trovi che la probabilità richiesta è $1/2$. Non ti piace? Usa la binomiale

$mathbb{P}[T>=2]= ((3),(2))1/2^3+1/2^3=1/2$

Per il punto b) basta usare lo spazio campionario in modo intelligente.
Infatti senza scrivere tutti e 32 i casi possibili ma solo osservando i 4 casi precedenti si nota subito che nei primi 3 casi (3 su 8 totali) è obbligatorio che vengano fuori due croci nei due lanci successivi mentre nell'ultimo caso (1 sempre su 8 totali) NON devono uscire due teste

ergo.....

$3/8xx1/4+1/8xx(1-1/4)=3/16$

Non ti piace? La formula matematica è sempre quella (anche se non è l'unica via) e con un po' di pratica si fa tranquillamente anche senza scrivere su carta le 4 realizzazioni campionarie base che aiutano a determinarla.


@anonymous_be0efb: "uppare" il presente topic su altri thread non mi pare una cosa da fare....(ti ho cancellato l'up indiretto)

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Gentilissimo tommik.
P.s. Sorry, non lo farò più

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.