Lancio di monete Truccate e funz. di ripartizione
Ciao ragazzi, mi trovo di fronte a questo problema.
Si consideri l'esperimento casuale "lancio di una moneta truccata", in cui la probabilità che si presenti l'esito testa sia pari a 0.2. Supponendo di ripetere l'esperimento 2 volte, si determini:
a) il valore atteso della variabile aleatoria X="numero di volte in cui si presenta croce"
b) la funzione di ripartizione della stessa variabile aleatoria in x=9
Vi spiego come ho ragionato: innanzitutto il testo ci fornisce solo la probabilità di un evento, mascherando l'altro. Sapendo che la somma delle probabilità deve essere pari a 1, semplicemente la probabilità di uscita croce è pari a 0,8.
La moneta truccata viene lanciata 2 volte, quindi abbiamo 4 possibili modi di uscita: nessuna testa, 1 testa (può presentarsi due volte), 2 teste. Calcolando le probabilità associate avremo qualcosa del genere:
$ P(Tnn C)=1/5*4/5=0.16 $
$ P(Cnn C)=4/5*4/5=0.64 $
$ P(Tnn T)=1/5*1/5=0.04 $
$ P(Cnn T)=1/5*4/5=0.16 $
Costruendo il nostro prospetto di distribuzione di probabilità avremo:
X (numero di croci) -> P(x)
0 -> 0.04
1 -> 0.32
2 -> 0.64
Il calcolo del valore atteso l'ho svolto in questo modo:
$ E(X)=sumx*px $
Con i che va da 1 a 2:
$ E(X)=0,8+0,8=1.6 $
E fin qua, credo di non aver commesso errori.
I miei problemi cominciano con il punto b, che non sto riuscendo a svolgere.
Grazie a chi mi aiuto, e grazie già a @tommik che son sicuro che passerà leggendo il mio nome
(Se ho commesso errori, anche in via formale, fatemeli presente)
Si consideri l'esperimento casuale "lancio di una moneta truccata", in cui la probabilità che si presenti l'esito testa sia pari a 0.2. Supponendo di ripetere l'esperimento 2 volte, si determini:
a) il valore atteso della variabile aleatoria X="numero di volte in cui si presenta croce"
b) la funzione di ripartizione della stessa variabile aleatoria in x=9
Vi spiego come ho ragionato: innanzitutto il testo ci fornisce solo la probabilità di un evento, mascherando l'altro. Sapendo che la somma delle probabilità deve essere pari a 1, semplicemente la probabilità di uscita croce è pari a 0,8.
La moneta truccata viene lanciata 2 volte, quindi abbiamo 4 possibili modi di uscita: nessuna testa, 1 testa (può presentarsi due volte), 2 teste. Calcolando le probabilità associate avremo qualcosa del genere:
$ P(Tnn C)=1/5*4/5=0.16 $
$ P(Cnn C)=4/5*4/5=0.64 $
$ P(Tnn T)=1/5*1/5=0.04 $
$ P(Cnn T)=1/5*4/5=0.16 $
Costruendo il nostro prospetto di distribuzione di probabilità avremo:
X (numero di croci) -> P(x)
0 -> 0.04
1 -> 0.32
2 -> 0.64
Il calcolo del valore atteso l'ho svolto in questo modo:
$ E(X)=sumx*px $
Con i che va da 1 a 2:
$ E(X)=0,8+0,8=1.6 $
E fin qua, credo di non aver commesso errori.
I miei problemi cominciano con il punto b, che non sto riuscendo a svolgere.
Grazie a chi mi aiuto, e grazie già a @tommik che son sicuro che passerà leggendo il mio nome
(Se ho commesso errori, anche in via formale, fatemeli presente)
Risposte
Sembra tutto ok. La FdR in $x=9$ vale ovviamente 1, essendo
$F(-oo)=0$
$F(+oo)=1$
$F(-oo)=0$
$F(+oo)=1$
Tommik, per favore, una spiegazione più dettagliata se ti è possibile su quest'ultimo punto.
EDIT: e nello specifico quell'x=9 è riferito al numero di lanci?!
EDIT: e nello specifico quell'x=9 è riferito al numero di lanci?!
È la funzione a gradini che sicuramente avrai già visto a lezione o sul libro.
Fai il grafico e ti accorgi sicuramente che vale 1 per ogni valore di $x>=2$
Fai il grafico e ti accorgi sicuramente che vale 1 per ogni valore di $x>=2$
"tommik":
È la funzione a gradini che sicuramente avrai già visto a lezione o sul libro.
Fai il grafico e ti accorgi sicuramente che vale 1 per ogni valore di $x>=2$
Ok provo a costruire il grafico e ti faccio sapere.
"daniele4610":
EDIT: e nello specifico quell'x=9 è riferito al numero di lanci?!
Ovviamente no. È riferito al numero di croci che si possono presentare in 2 lanci. Scritto diversamente sarebbe così
$P(X<=9)$
Che palesemente è 100% dato che al massimo possono presentarsi 2 croci in 2 lanci.
È una domanda banale per vedere se hai capito cosa fai o studi solo a macchinetta.
Che studi fai?
È una domanda banale per vedere se hai capito cosa fai o studi solo a macchinetta.
Non ho inteso bene questa affermazione.
Per rispondere alla tua domanda, sono uno studente di management aziendale.
E siccome son mancato alle ultime 6 ore di lezione, qualcosa di elementare mi sta sfuggendo.
Intendo che è una domanda per vedere se riesci a ragionare sulle proprietà studiate.
Guarda, riesco più a ragionarci sul problema trovando la soluzione teorica, mentre sto trovando qualche difficoltà nel formalismo. Infatti, il più delle volte che ho presentato un problema qua sul forum, il ragionamento c'è ma non riesco a portarmi avanti nello svolgimento numerico-pratico.
Sempre in riferimento al lancio di una moneta truccata, mettiamo che la probabilità di testa sia pari a p. Su $3$ lanci la funzione di probabilità viene costruita nel modo seguente?
Lo spazio campione è (ttt, ttc, tct, ctt, tcc, ctc, cct, ccc) con le seguenti probabilità $P("ttt")=p^3$
$P("ttc")=P ("tct")=P ("ctt")=p^2(1-p)$
$P("tcc")=P("ctc")=P("cct")= p(1-p)^2$
$P(c,c,c)=(1-p)^3$
La FdP sarà $S_i={" numero di croci= }$ pertanto:
$X(S_0)=(1-p)^3$
$X(S_1)=p(1-p)^2$
$X(S_2)=p^2(1-p)^2$
$X(S_3)=p^3$
quindi $P(S_3)=p^3$?
Lo spazio campione è (ttt, ttc, tct, ctt, tcc, ctc, cct, ccc) con le seguenti probabilità $P("ttt")=p^3$
$P("ttc")=P ("tct")=P ("ctt")=p^2(1-p)$
$P("tcc")=P("ctc")=P("cct")= p(1-p)^2$
$P(c,c,c)=(1-p)^3$
La FdP sarà $S_i={" numero di croci= }$ pertanto:
$X(S_0)=(1-p)^3$
$X(S_1)=p(1-p)^2$
$X(S_2)=p^2(1-p)^2$
$X(S_3)=p^3$
quindi $P(S_3)=p^3$?
è corretto dunque che la risposta è p3 ?
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